PDF-версии: 
Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Найдите все a, при которых 
в) Пусть xa — ближайший к 
корень уравнения 
Найдите наименьшее значение 
г) Найдите все a, при которых 
при всех 
Решение. а) Запишем уравнение в виде 
и преобразуем его:
где 
Значит, либо 
либо 
При этом, однако, 
не должно обнуляться. Для чисел из первого набора это получится само. А вот для второго набора нужно разобраться подробнее. Если k нечетно, то 
Если k четно, но не кратно 4, то 
Поэтому следует оставить только k кратные четырем, что даст ответы 
Но все эти ответы и так есть в первом наборе.
б) Вычислим этот интеграл. Сразу заметим, что от смены знака у a функция не изменится, так что a можно считать неотрицательным. Найдем:
Разберем сразу случай 
Оно подходит, поскольку для него подынтегральная функция имеет вид 
При всех прочих a можно вычислить этот интеграл по общей формуле:
При 
это 0. При 
получаем 
поэтому 
и 
неравенство выполнено. При 
второй множитель положителен и получаем неравенство 
откуда
В частности, первый подходящий отрезок это 
и он смыкается с уже полученными ответами 
и Окончательно,
индексы сдвинуты, чтобы отрезок [1; 2] не включился в ответ повторно.
в) Рассмотрим уравнение 
Заметим, что при 
это уравнение выполняться не может, поэтому можно переписать уравнение в виде 
или 
Поскольку 
то и 
Ближайшая к 
точка с таким свойством это 
или 
(расстояние от них до одинаково и равно 
Осталось выбрать подходящее a. Например при 
число 
будет корнем уравнения Итак, наименьшее значение 
равно 
г) Как и в пункте б будем считать, что a неотрицательна. Для начала отметим, что если 
то 
причем 
то есть можно выбрать такое x при котором 
и 
Значит, 
Далее, поскольку функция четна (как произведение двух четных), можно рассматривать только положительные значения x. При положительных x и 
получим 
поэтому функции 
и 
(а с ними и их произведение) на всем отрезке убывают и положительны. Поэтому достаточно проверить неравенство только при самом большом значении x. Подставим 
получим
Поскольку речь сейчас идет об углах первой четверти и — убывающая функция для таких
углов, неравенство равносильно 
или 
Итак, из положительных чисел подходят 
Ясно, что тоже подходит, поскольку на всем указанном промежутке
Поэтому окончательный ответ: 
Ответ: а) 
б) 
или 
в) 
г) 
б) или в) г) б) или в) г)