Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2084

5. Назовем расстоянием между точками поверхности параллелепипеда длину кратчайшей ломаной на его поверхности, соединяющей эти точки. Пусть E и W — противоположные вершины параллелепипеда.

а) Найдите расстояние между вершинами E и W единичного куба.

б) При каких значениях a и b расстояние между вершинами E и W прямоугольного параллелепипеда единичного объема с длинами ребер a, a, b будет наименьшим?

в) Докажите, что расстояние между любыми парами точек поверхности единичного куба не превосходит расстояния между точками E и W.

г) Найдите длины ребер прямоугольного параллелепипеда единичного объема, расстояние между вершинами E и W которого принимает наименьшее значение.

Спрятать решение

Решение.

а) Решение — на рисунке, кратчайший путь можно искать среди путей на развертке куба (см. рис).

б) a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби \root6 \of 2 и b=\root3 \of 2. (См. пункт г)).

в) Если A и B лежат на соседних гранях, то расстояние между ними не превосходит  корень из 5 . Предположим, что они находятся на противоположных гранях. Обернем кубик полоской шириной единица и длиной четыре, начиная от точки A. Так как B попадет в одну из двух ее половин, то AB\leqslant} корень из 5 .

г) Точки E и W можно соединить тремя путями, длины di которых равны, соответственно,  корень из (a в квадрате плюс (b плюс c) в квадрате ) ,  корень из (b в квадрате плюс (a плюс c) в квадрате ) и  корень из (c в квадрате плюс (a плюс b) в квадрате ) (см. рис.), а образы путей которых на развертках параллелепипеда являются отрезками. Поскольку  дробь: числитель: b плюс c, знаменатель: 2 конец дроби \geqslant} корень из (bc) и abc=1, то

d_1 в квадрате =a в квадрате плюс (b плюс c) в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби b в квадрате c в квадрате плюс (b плюс c) в квадрате \geqslant} дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби b в квадрате c в квадрате плюс 4bc= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби b в квадрате c в квадрате плюс 2bc плюс 2bc\geqslant} 3\root3 \of 4,

причем d_1 в квадрате =3\root3 \of 4, если b=c и  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби b в квадрате c в квадрате =2bc, т. е. b=c= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби \root6 \of 2 и a=\root3 \of 2. Осталось заметить, что в этом случае d_2 больше d_1 и d_3 больше d_1.

 

Ответ: а) 5; б) при a= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби \root6 \of 2 и b=\root3 \of 2; г) два ребра имеют длину  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби \root6 \of 2, а третье — \root3 \of 2.


-------------
Дублирует задание № 2052.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2
? Классификатор: Расстояние между точками, плоскостями
?
Сложность: 11 из 10