4. Пусть 
, 
, 
— точки плоскости (здесь z — комплексное число).
а) Докажите, что если 
то 
(O — начало координат).
б) Докажите, что треугольник
подобен треугольнику с вершинами в точках 
, 1 и 
комплексной плоскости.
в) Пусть 
Найдите множество значений радиусов окружностей, описанных около треугольника 
г) При каком значении z, где 
, площадь треугольника ABC принимает наибольшее значение?
а) Имеем:
здесь 
— комплексно сопряженное к z число.
б) Сделав параллельный перенос, переводящий вершину A треугольника в точку O, получим треугольник 
где точкам 
и 
соответствуют комплексные числа 
и
соответственно. Следовательно, умножение на 
переводит треугольник с вершинами в точках 0, 1 и 
в подобный ему треугольник OB1C1, равный треугольнику ABC. Коэффициент подобия 
в) Если то 
значит, (см. пункт а)), точка O — центр описанной около данного треугольника окружности с радиусом 
При 
треугольник вырождается, при остальных значениях z, где получаем, что 
г) Площадь треугольника с вершинами в точках 0, 1 и равна 
поэтому для площади S подобного ему треугольника ABC (см. пункт б)) получаем формулу
здесь 
а ![\varphi принадлежит [0; 2 Пи ].](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/44/444d2b02356ee50161fa512f7f153314.svg)
Достаточно рассматривать случай, когда ![\varphi принадлежит [0; Пи ],](https://urok.sdamgia.ru/formula/svg/2f/2fe72785528e233b2f71b457dee6dd49.svg)
тогда 
производная примет вид
и 
при 
получим 
Ясно, что значение 
является наибольшим.
Ответ: 
-------------
Дублирует задание № 2051.Спрятать критерии