Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2083

4. Пусть A(2z плюс 1), B(z плюс 2), C(z в квадрате плюс 2z) — точки плоскости (здесь z — комплексное число).

а) Докажите, что если |z|=1, то OA=OB (O — начало координат).

б) Докажите, что треугольник

ABC подобен треугольнику с вершинами в точках 0, 1 и  минус (z плюс 1) комплексной плоскости.

в) Пусть |z|=1. Найдите множество значений радиусов окружностей, описанных около треугольника ABC.

г) При каком значении z, где |z|=1, площадь треугольника ABC принимает наибольшее значение?

Спрятать решение

Решение.

а) Имеем:

OA в квадрате =(2z плюс 1)(2\bar z плюс 1)=4|z| в квадрате плюс 2(z плюс \bar z) плюс 1 =2(z плюс \bar z) плюс 5,

OB в квадрате =(z плюс 2)(\bar z плюс 2)=|z| в квадрате плюс 2(z плюс \bar z) плюс 4=2(z плюс \bar z) плюс 5,

здесь \bar z — комплексно сопряженное к z число.

б) Сделав параллельный перенос, переводящий вершину A треугольника в точку O, получим треугольник OB_1C_1, где точкам B_1 и C_1 соответствуют комплексные числа z плюс 2 минус (2z плюс 1)=1 минус z и

z в квадрате плюс 2z минус (2z плюс 1)=z в квадрате минус 1= минус (1 минус z)(z плюс 1)

соответственно. Следовательно, умножение на 1 минус z переводит треугольник с вершинами в точках 0, 1 и  минус (z плюс 1) в подобный ему треугольник OB1C1, равный треугольнику ABC. Коэффициент подобия \lambda=|z минус 1|.

в) Если |z|=1, то OC=OB, значит, (см. пункт а)), точка O — центр описанной около данного треугольника окружности с радиусом R=|z плюс 2|. При z=\pm1 треугольник вырождается, при остальных значениях z, где |z|=1, получаем, что R принадлежит (1; 3).

г) Площадь треугольника с вершинами в точках 0, 1 и  минус (z плюс 1) равна  дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 |\text Im z|, поэтому для площади S подобного ему треугольника ABC (см. пункт б)) получаем формулу

S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби |\text Im z||z минус 1| в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2| синус \varphi|((1 минус косинус \varphi) в квадрате плюс синус в квадрате \varphi)=| синус \varphi|(1 минус косинус \varphi),

здесь z= косинус \varphi плюс i синус \varphi, а \varphi принадлежит [0; 2 Пи ]. Достаточно рассматривать случай, когда \varphi принадлежит [0; Пи ], тогда S(\varphi)= синус \varphi минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 синус 2\varphi, производная примет вид

S'(\varphi)= косинус \varphi минус косинус 2\varphi=2 синус дробь: числитель: 3\varphi, знаменатель: 2 конец дроби синус дробь: числитель: \varphi, знаменатель: 2 конец дроби

и S'(\varphi)=0 при \varphi=0, получим  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби . Ясно, что значение S левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка является наибольшим.

 

Ответ: в) (1; 3); г)  дробь: числитель: минус 1\pm i корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .


-------------
Дублирует задание № 2051.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2
? Классификатор: Расстояние между точками, плоскостями
?
Сложность: 11 из 10