Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2082

3. Последовательность \x_n\ задана формулой x_n=nx_n минус 1 минус 1, а x_0=c.

а) Докажите, что если c меньше или равно 1, то данная последовательность монотонна.

б) Докажите, что если c больше 2, то при всех натуральных n верно неравенство |x_n/n!| меньше или равно c.

в) Докажите, что если последовательность \x_n\ сходящаяся, то она стремится к нулю.

г) Докажите, что если число c рационально, то эта последовательность не имеет конечного предела.

Спрятать решение

Решение.

а) Поскольку x_1=x_0 минус 1, то x_1 меньше c и x_1\leqslant}0, следовательно, x_2=2x_1 минус 1 меньше 0. Нетрудно доказать по индукции, что x_n\leqslant}0. Неравенство x_n меньше x_n минус 1 имеет вид nx_n минус 1 минус 1 меньше x_n минус 1, или x_n минус 1 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби n минус 1, что верно.

б) Если c=x_0 больше 2, то x_1 больше 1, далее, x_2=2x_1 минус 1 больше 1. Если неравенство x_k больше 1 (k\geqslant}2) верно, то x_k плюс 1=kx_k минус 1 больше k минус 1\geqslant}1, значит, x_n больше 1 при всех натуральных n. Наконец,

1 меньше x_n=nx_n минус 1 минус 1 меньше nx_n минус 1 меньше n(n минус 1)x_n минус 2 меньше \ldots меньше (n!)x_0=cn!.

в) Преобразуя данное рекуррентное соотношение, получаем  дробь: числитель: x_n, знаменатель: n конец дроби =x_n минус 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби , поэтому, если x_narrow a, то  дробь: числитель: x_n, знаменатель: n конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби arrow 0, значит, a=0.

г) Пусть c=x_0= дробь: числитель: p, знаменатель: q конец дроби , тогда x_q минус 1= дробь: числитель: k, знаменатель: q конец дроби , xq — целое и, более того, все члены xn, где n\geqslant} q, также являются целыми. Так как x_n не равно x_n плюс 1, то |x_n минус x_n плюс 1| \geqslant}1 при всех n\geqslant} q, следовательно, данная последовательность не является сходящейся.


-------------
Дублирует задание № 2050.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2
? Классификатор: Прогрессии
?
Сложность: 11 из 10