3. Последовательность 
задана формулой 
а 
а) Докажите, что если 
то данная последовательность монотонна.
б) Докажите, что если 
то при всех натуральных n верно неравенство 
в) Докажите, что если последовательность сходящаяся, то она стремится к нулю.
г) Докажите, что если число c рационально, то эта последовательность не имеет конечного предела.
а) Поскольку 
то 
и 
следовательно, 
Нетрудно доказать по индукции, что 
Неравенство 
имеет вид 
или 
что верно.
б) Если 
то 
далее, 
Если неравенство 
(
) верно, то 
значит, 
при всех натуральных n. Наконец,
в) Преобразуя данное рекуррентное соотношение, получаем 
поэтому, если 
то 
значит, 
г) Пусть 
тогда 
xq — целое и, более того, все члены xn, где 
также являются целыми. Так как 
то 
при всех следовательно, данная последовательность не является сходящейся.
-------------
Дублирует задание № 2050.Спрятать критерии