Ре­ше­ние. а)  Под­ста­вим в это урав­не­ние вы­ра­же­ние для тогда

Най­дем для на­ча­ла ОДЗ урав­не­ния. Ясно, что

Столь же ясно, что при x  =  2 урав­не­ние вы­пол­не­но (по­сколь­ку а при x > 2 имеем

и по­это­му функ­ция опре­де­ле­на при Более того, обе части урав­не­ния не­от­ри­ца­тель­ны. Воз­ве­дем его в квад­рат

От­ку­да или тогда или Пер­вое не­воз­мож­но (мы уже до­ка­за­ли, что при это вы­ра­же­ние не мень­ше Вто­рое дает x > 2, ко­то­рое мы уже уга­да­ли.

б)  За­ме­тим, что опре­де­ле­на при Зна­чит, об­ласть опре­де­ле­ния этого не­ра­вен­ства опре­де­ля­ет­ся усло­ви­я­ми и Пер­вое не­ра­вен­ство после до­мно­же­ния на даст т. е. или При всех таких x вто­рое не­ра­вен­ство вы­пол­не­но. Также за­ме­тим, что на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния мо­но­тон­но воз­рас­та­ет (как ком­по­зи­ция воз­рас­та­ю­щих функ­ций). По­это­му не­ра­вен­ство из усло­вия рав­но­силь­но тому, что До­мно­жим это не­ра­вен­ство на зна­ме­на­те­ли (они по­ло­жи­тель­ны) и решим его:

У мно­го­чле­на в левой части есть ко­рень по­это­му мно­го­член в левой части рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли, один из ко­то­рых равен Вы­де­лим его Кор­ня­ми вто­ро­го мно­жи­те­ля будут Ис­поль­зуя метод ин­тер­ва­лов, по­лу­чим

Учи­ты­вая ОДЗ, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

в)  Из мо­но­тон­но­сти по­лу­чим, что Для того, чтобы функ­ция была опре­де­ле­на, нужно по­тре­бо­вать то есть Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

За­ме­тим, что при ре­ше­ний нет. при про­чих a это урав­не­ние сво­дит­ся к и нужно еще, чтобы то есть чтобы Решим это не­ра­вен­ство:

по­лу­чим

г)  Обо­зна­чим и вы­ра­зим все через b и d. Решим:

Сде­ла­ем во вто­ром ин­те­гра­ле за­ме­ну тогда при­чем от­ре­зок про­хо­дит­ся в об­рат­ную сто­ро­ну. Далее, и не­ра­вен­ство за­пи­шет­ся в виде

Те­перь обо­зна­чим пе­ре­мен­ную ин­те­гри­ро­ва­ния во вто­ром сла­га­е­мом снова за x

Слева на­пи­сан ин­те­грал от функ­ции по от­рез­ку дли­ной t. До­ка­жем, что все зна­че­ния этой функ­ции на дан­ном от­рез­ке не боль­ше чем Тогда пло­щадь под гра­фи­ком не боль­ше, чем наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции, умно­жен­ное на длину про­ме­жут­ка ин­те­гри­ро­ва­ния и нуж­ная оцен­ка будет до­ка­за­на

Воз­ве­дем в квад­рат (обе части не­от­ри­ца­тель­ны):

Как из­вест­но, при не­от­ри­ца­тель­ных x и y (это сво­дит­ся к ), по­это­му до­ста­точ­но будет до­ка­зать, что

что верно. Не­ра­вен­ство до­ка­за­но.

Ответ: а) б) в) при при осталь­ных a ре­ше­ний нет.