РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

№ 2030

? Источники:

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 2;

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 1.

Сложность: 11 из 10

5.  Последовательность $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка$ задана рекуррентно: $x_1 = a,$ $x_n плюс 1 = x_n в квадрате минус x_n минус 3$ при всех $n принадлежит N .$

а)  Докажите, что если a  — целое, то x_n  — нечетное число при всех $n больше или равно 2.$

б)  Выясните, при каком значении a последовательность $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка$ является стационарной.

в)  Выясните, при каких значениях a последовательность $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка$ является геометрической прогрессией.

г)  Пусть $a = 4.$ Докажите, что последовательность $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка$ не имеет предела.

Решение. а)  Так как $x_n плюс 1 = x_n левая круглая скобка x_n минус 1 правая круглая скобка минус 3,$ то если x_n  — целое, то $x_n левая круглая скобка x_n минус 1 правая круглая скобка$   — четное, значит, $x_n плюс 1$   — нечетное число.

б)  Пусть $x_n = a,$ тогда $x_n плюс 1 = a в квадрате минус a минус 3$ и $x_n плюс 1 = a,$ если $a = a в квадрате минус a минус 3.$

в)  Если $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка$   — геометрическая прогрессия, то $x_1 x_3 = x_2 в квадрате ,$ значит,

$левая круглая скобка a в квадрате минус a минус 3 правая круглая скобка в квадрате = a левая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус a минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус a левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно a в квадрате левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус a минус 3 правая круглая скобка в квадрате равносильно совокупность выражений a = 1, a = a в квадрате минус a минус 3, минус a = a в квадрате минус a минус 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a = 1, a = минус 1, a = 3, a = минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , a = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности .$ $левая круглая скобка a в квадрате минус a минус 3 правая круглая скобка в квадрате = a левая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус a минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус a левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно a в квадрате левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус a минус 3 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно совокупность выражений a = 1, a = a в квадрате минус a минус 3, минус a = a в квадрате минус a минус 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a = 1, a = минус 1, a = 3, a = минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , a = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности .$

Однако равенство $x_1 x_3 = x_2 в квадрате$   — лишь необходимое условие, и, проверяя, видим, что $x_4 = 69$ при $a = 1,$ то есть в таком случае $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка$ не есть геометрическая прогрессия.

г)  Докажем по индукции, что $x_n больше или равно 4$ и $x_n плюс 1 минус x_n больше или равно 3,$ откуда и будет следовать, что конечного предела у последовательности $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка$ нет. Действительно, если $x_n больше или равно 4,$ то

$x_n плюс 1 минус x_n = x_n в квадрате минус 2x_n минус 3 = левая круглая скобка x_n минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x_n минус 1 правая круглая скобка больше или равно 3.$

Ответ: б)  –1; 3 в) –1; 3; $минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;$ $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

----------

Дублирует задание 2008.

Критерии проверки:

Источники:

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 2;

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1991 год, вариант 1.

Классификатор: Прогрессии

Сложность: 11 из 10

Ключ