РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2023

5.  Пусть $A левая круглая скобка i минус 1 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка 2i минус 1 правая круглая скобка ,$ $C левая круглая скобка 2 минус 3i правая круглая скобка$   — точки плоскости, соответствующие указанным комплексным числам, $\Cal S$   — окружность $|z|=1,$ а $\Cal D$   — множество комплексных чисел, заданное неравенством $|2z минус 1| \leqslant} 1.$

а)  Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки $P принадлежит \Cal S$ до точек $A, B, C$ постоянна.

б)  Изобразите на плоскости точки $A, B$ и множество комплексных чисел вида $z левая круглая скобка 2i минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус z правая круглая скобка левая круглая скобка i минус 1 правая круглая скобка ,$ где $z принадлежит \Cal D.$

в)  Найдите такую точку $E принадлежит \Cal D$ и все такие равносторонние треугольники с вершинами на $\Cal S,$ для которых сумма квадратов расстояний от их вершин до E наибольшая.

г)  Выясните, верно ли, что для всякой точки w, лежащей в треугольнике ABC, найдется такое число $z принадлежит \Cal D,$ что $w=z z_k плюс левая круглая скобка 1 минус z правая круглая скобка z_j,$ где $z_k, z_j принадлежит левая фигурная скобка i минус 1, 2i минус 1, 2 минус 3i правая фигурная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Проведем вычисления в общем виде, считая, что точки A, B, C соответствуют комплексным числам z₁, z₂, z₃, где $z_1 плюс z_2 плюс z_3=0:$

$\sum_i=1 в кубе |z минус z_i| в квадрате =\sum_i=1 в кубе левая круглая скобка z минус z_i правая круглая скобка левая круглая скобка \bar z минус \bar z_i правая круглая скобка =3|z| в квадрате плюс \sum_i=1 в кубе |z_i| в квадрате минус z\sum_i=1 в кубе \bar z_i минус \bar z\sum_i=1 в кубе z_i=3 плюс \sum_i=1 в кубе z_i в квадрате =\rm const.$ $\sum_i=1 в кубе |z минус z_i| в квадрате =\sum_i=1 в кубе левая круглая скобка z минус z_i правая круглая скобка левая круглая скобка \bar z минус \bar z_i правая круглая скобка =$
$=3|z| в квадрате плюс \sum_i=1 в кубе |z_i| в квадрате минус z\sum_i=1 в кубе \bar z_i минус \bar z\sum_i=1 в кубе z_i=3 плюс \sum_i=1 в кубе z_i в квадрате =\rm const.$ $\sum_i=1 в кубе |z минус z_i| в квадрате =\sum_i=1 в кубе левая круглая скобка z минус z_i правая круглая скобка левая круглая скобка \bar z минус \bar z_i правая круглая скобка =$
$=3|z| в квадрате плюс \sum_i=1 в кубе |z_i| в квадрате минус z\sum_i=1 в кубе \bar z_i минус \bar z\sum_i=1 в кубе z_i=$
$=3 плюс \sum_i=1 в кубе z_i в квадрате =\rm const.$

б)  Множество $\Cal D,$ заданное неравенством\linebreak $\left|z минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби |\leqslant} дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ является кругом, диаметр которого совпадает с отрезком $левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка$ вещественной оси. Так как

$z левая круглая скобка 2i минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус z правая круглая скобка левая круглая скобка i минус 1 правая круглая скобка =iz плюс i минус 1,$

то искомое множество получается из $\Cal D$ путем его поворота на угол $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ (умножение на i) и параллельного переноса на вектор, соответствующий $i минус 1.$

в)  Если z₁, z₂, z₃  — вершины лежащего на окружности S равностороннего треугольника, то $z_1 плюс z_2 плюс z_3=0,$ поэтому

$\sum\limits_i=1 в кубе |z минус z_i| в квадрате =3|z| в квадрате плюс 3$

(см. пункт а)) и $\max|z|$ при $z принадлежит \Cal D$ реализуется в точке $z=1.$

г)  Множество точек указанного в задаче вида, как следует из рассуждения пункта б), является кругом с диаметром $левая квадратная скобка z_k; z_j правая квадратная скобка .$ Три круга, построенные на отрезках AB, BC и AC как на диаметрах, накрывают этот треугольник хотя бы потому, что он тупоугольный.

Ответ: б) см. рис.; в) E соответствует $z=1,$ треугольник  — произвольный; г) да, верно.

----------

Дублирует задание 2018.

-------------
Дублирует задание № 2018.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

? Источники:

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 2;

Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1.

? Классификатор: Расстояние между точками, плоскостями

Сложность: 11 из 10

Источник: сайт Решу урок  —  выпускные экзамены по математике, задание № 2018.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь