РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

№ 1977

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 1

? Классификатор: Показательные неравенства, Показательные уравнения и их системы

Сложность: 11 из 10

Санкт-петербургские выпускные экзамены. Профильно-элитарные варианты. 1. Показательная и логарифмическая функции

1.  Дана функция $y = 8 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x .$

а)  Решите уравнение $y = минус 2.$

б)  Найдите наименьшее значение функции y.

в)  Решите неравенство $y меньше или равно 4 в степени левая круглая скобка x плюс \tfrac12 правая круглая скобка .$

г)  Сколько на графике функции y пар точек, симметричных друг другу относительно начала координат?

Решение. а)  Положив $t = 2 в степени x ,$ получим $левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка = 0.$

б)  Наименьшее значение функции f совпадает с наименьшим значением $g левая круглая скобка t правая круглая скобка = t в кубе минус 3t$ при $t больше 0;$ находим

$g' левая круглая скобка t правая круглая скобка = 3t в квадрате минус 3 = 3 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка ,$

следовательно, $t = 1$   — точка минимума и $min f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2.$

в)  Сделав ту же замену $t = 2 в степени x ,$ придем к неравенству $t левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ Учитывая, что $t больше 0,$ получаем $0 меньше t меньше или равно 3.$

г)  Точки $левая круглая скобка x_1; f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка x_2; f левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка правая круглая скобка$ графика симметричны относительно начала координат в том и только том случае, если $x_1 = минус x_2$ и $f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка = минус f левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка ,$ то есть $f левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка = минус f левая круглая скобка минус x_1 правая круглая скобка ,$ или

$8 в степени левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка = минус левая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка минус x_1 правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x_1 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Пусть $t = 2 в степени левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка больше 0.$ Имеем:

$t в кубе минус 3t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t в кубе конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t конец дроби = левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t в квадрате конец дроби минус 4 правая круглая скобка = 0,$

откуда $t = корень из: начало аргумента: 2 \pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$

Ответ: а)  0; б)  –2; в)  $x меньше или равно логарифм по основанию 2 3;$ г)  одна пара, $x_1 = минус x_2 = логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$

1977

а)  0; б)  –2; в)  $x меньше или равно логарифм по основанию 2 3;$ г)  одна пара, $x_1 = минус x_2 = логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$

Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 1

Классификатор: Показательные неравенства, Показательные уравнения и их системы

Сложность: 11 из 10

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1977	а)  0; б)  –2; в)  $x меньше или равно логарифм по основанию 2 3;$ г)  одна пара, $x_1 = минус x_2 = логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента .$