Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1974
i

3.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x минус ко­си­нус 3x.

а)  До­ка­жи­те, что  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = минус \ctg x.

б)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка бета пра­вая круг­лая скоб­ка , если  ко­си­нус бета = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

в)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 синус x умно­жить на синус 4x.

г)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус x конец дроби мень­ше или равно 1 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 синус в квад­ра­те x ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x левая круг­лая скоб­ка минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те x ко­си­нус x конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби = минус \ctg x.

б)  Если  ко­си­нус бета = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , то  синус в квад­ра­те x=1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x=1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби и по­то­му

f левая круг­лая скоб­ка бета пра­вая круг­лая скоб­ка =4 синус в квад­ра­те x ко­си­нус x=4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 32, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби .

в)  За­пи­шем урав­не­ние в виде 2 синус x синус 2x=2 синус x синус 4x и пре­об­ра­зу­ем его к урав­не­нию2 синус x левая круг­лая скоб­ка синус 2x минус синус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка =0. Зна­чит, либо  синус x=0, от­ку­да x= Пи k, k при­над­ле­жит Z . Либо  синус 2x= синус 4x, от­ку­да либо x= Пи k, либо x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , k при­над­ле­жит Z . Окон­ча­тель­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  x= Пи k, k при­над­ле­жит Z .

г)  Сразу от­ме­тим, что  синус x=0 при x= Пи и боль­ше ни в какой точке этого от­рез­ка. За­пом­ним, что x= Пи долж­но быть ис­клю­че­но из от­ве­та и за­пи­шем не­ра­вен­ство в виде

 дробь: чис­ли­тель: 2 синус x синус 2x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но 2 синус 2x мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но синус 2x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­сколь­ку при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка по­лу­чим 2x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Функ­ция  синус x убы­ва­ет на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и воз­рас­та­ет на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , при­чем  синус левая круг­лая скоб­ка Пи пра­вая круг­лая скоб­ка =0,  синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус 1,  синус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  синус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1, зна­чит, нам под­хо­дят числа, для ко­то­рых 2x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , от­ку­да x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Окон­ча­тель­но, ис­клю­чая x=0 по­лу­чим ответ x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 32, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби ; в)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; г)  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1969

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2001 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10