Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1969

3. Дана функция f(x)= синус 3x минус синус x.

а) Докажите, что  дробь: числитель: f(x), знаменатель: f левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец дроби = минус тангенс x.

б) Вычислите f( альфа ), если  синус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

в) Решите уравнение f(x)= синус 2x.

г) Решите неравенство  дробь: числитель: f(x), знаменатель: синус x конец дроби больше или равно минус 1 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Последовательно получим

 дробь: числитель: f(x), знаменатель: f(x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ) конец дроби = дробь: числитель: 2 синус x косинус 2x, знаменатель: 2 синус (x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ) косинус 2(x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби )) конец дроби = дробь: числитель: синус x косинус 2x, знаменатель: косинус x косинус (2x плюс Пи ) конец дроби = дробь: числитель: синус x косинус 2x, знаменатель: минус косинус x косинус 2x конец дроби = минус дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби = минус тангенс x.

б) Если  синус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , то

 косинус 2x=1 минус 2 синус в квадрате x=1 минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби

и потому

f( альфа )=2 синус альфа косинус 2 альфа =2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 16 конец дроби .

в) Запишем уравнение в виде 2 синус x косинус 2x= синус 2x и преобразуем его

2 синус x косинус 2x=2 синус x косинус x равносильно 2 синус x( косинус 2x минус косинус x)=0.

Значит, либо  синус x=0, откуда x= Пи k, k принадлежит Z . Либо  косинус 2x= косинус x, откуда либо 2x=x плюс 2 Пи k равносильно x=2 Пи k, k принадлежит Z , либо

2x= минус x плюс 2 Пи k равносильно 3x=2 Пи k равносильно x= дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .

Заметим, что ответ x=2 Пи k входит в ответ x= дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , как и ответ x= Пи k при четных k. А вот при нечетных k — не входит и должен быть указан отдельно. Окончательно x= дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , x= Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

г) Сразу отметим, что  синус x=0 при x=0 и больше ни в какой точке этого отрезка. Запомним, что x=0 должно быть исключено из ответа и запишем неравенство в виде

 дробь: числитель: 2 синус x косинус 2x, знаменатель: синус x конец дроби больше или равно минус 1 равносильно 2 косинус 2x больше или равно минус 1 равносильно косинус 2x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Поскольку при x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка получим 2x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка . Функция  косинус x возрастает на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка и убывает на отрезке [0; Пи ], причем  косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0,  косинус 0=1,  косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,  косинус Пи = минус 1, значит, нам подходят числа, для которых 2x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка , откуда x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка . Окончательно, исключая x=0 получим ответ x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

 

Ответ: б)  дробь: числитель: 7, знаменатель: 16 конец дроби ; в) \left\ Пи k;\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \; г)  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1974

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 5 из 10