Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1970

4. Дана функция f(x)=x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби .

а) Найдите координаты точек пересечения графика функции y=f(x) с осями координат.

б) Исследуйте функцию y=f(x) на монотонность.

в) Постройте график функции y=f(x).

г) Образующая конуса равна  корень из (3) . Найдите наибольший возможный объем такого конуса.

Спрятать решение

Решение.

а) Нужно решить уравнение x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби =0, откуда

3x минус x в кубе =0 равносильно x(3 минус x в квадрате )=0 равносильно совокупность выражений x=0,x=\pm корень из (3) . конец совокупности .

Значит, точки пересечения с осью абсцис это (0;0), ( корень из (3) ;0), ( минус корень из (3) ;0). Первая заодно будет точкой пересечения с осью ординат.

б) Возьмем производную функции

 f'(x)=(x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби )'=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3x в квадрате =1 минус x в квадрате =(1 минус x)(1 плюс x),

что положительно при x принадлежит ( минус 1;1) и отрицательно при x меньше 1 или x больше 1.

Значит f(x) убывает при x меньше меньше или равно минус 1, возрастает при x принадлежит [ минус 1;1] и убывает при x больше или равно 1.

в) Добавим еще несколько пунктов в исследование. Из предыдущего видно, что x= минус 1 — точка минимума, а точка x=1 — точка максимума функции,

f( минус 1)= минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , f(1)=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Возьмем вторую производную, получим f''(x)=(1 минус x в квадрате )'= минус 2x, что отрицательно при x больше 0 и положительно при x меньше 0. Значит, функция выпукла вверх при x больше 0 и выпукла вниз при x меньше 0. Точка x=0 будет точкой перегиба, f(0)=0. Функция f(x) — кубический многочлен. Она определена везде и принимает все значения. Она нечетная. У нее нет асимптот. Осталось построить график.

г) Обозначим высоту конуса за h, а радиус основания за r. Тогда по условию  корень из (h в квадрате плюс r в квадрате ) = корень из (3) равносильно h в квадрате плюс r в квадрате =3. Объем конуса равен

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи (3 минус h в квадрате )h= Пи левая круглая скобка h минус дробь: числитель: h в кубе , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Это выражение отличается от исследовавшейся нами функции только постоянным множителем  Пи . Поэтому оно возрастает при h принадлежит [0;1] и убывает при h больше или равно 1, так что максимальный объем конуса равен  Пи f(1)= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи .

 

Ответ:а) ( минус корень из (3) ;0), (0;0), ( корень из (3) ;0); б) убывает на ( минус принадлежит fty ; минус 1] и на  [1; плюс принадлежит fty ), возрастает на [ минус 1;1]; в) см. рис.; г)  дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1975

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций, Параметр в задачах с интегрированием, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 5 из 10