PDF-версии: 
4. Дана функция 
а) Найдите координаты точек пересечения графика функции 
с осями координат.
б) Исследуйте функцию на монотонность.
в) Постройте график функции 
г) Образующая конуса равна 
Найдите наибольший возможный объем такого конуса.
Решение. а) Нужно решить уравнение 
откуда
Значит, точки пересечения с осью абсцисc это 
Первая заодно будет точкой пересечения с осью ординат.
б) Возьмем производную функции
что положительно при
и отрицательно при 
или 
Значит 
убывает при 
возрастает при 
и убывает при 
в) Добавим еще несколько пунктов в исследование. Из предыдущего видно, что 
— точка минимума, а точка 
— точка максимума функции,
Возьмем вторую производную, получим 
что отрицательно при 
и положительно при 
Значит, функция выпукла вверх при и выпукла вниз при Точка 
будет точкой перегиба, 
Функция — кубический многочлен. Она определена везде и принимает все значения. Она нечетная. У нее нет асимптот. Осталось построить график.
г) Обозначим высоту конуса за h, а радиус основания за r. Тогда по условию 
Объем конуса равен
Это выражение отличается от исследовавшийся нами функции только постоянным множителем 
Поэтому оно возрастает при 
и убывает при 
так что максимальный объем конуса равен 
Ответ:а) 
б) убывает на 
и на 
возрастает на 
в) см. рис.; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) убывает на и на возрастает на в) см. рис.; г) б) убывает на и на возрастает на в) см. рис.; г)