Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1962
i

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка \log _34 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те все зна­че­ния x, при ко­то­рых гра­фик функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка рас­по­ло­жен ниже пря­мой y= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

в)  Ре­ши­те урав­не­ние 3f в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4.

г)  Най­ди­те все числа b такие, что f левая круг­лая скоб­ка \log _3b пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим

f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 4= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

б)  Усло­вие за­да­чи про­сто озна­ча­ет, что f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , то есть

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 3 в сте­пе­ни x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни x мень­ше 4 рав­но­силь­но x мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 4.

в)  Обо­зна­чим f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =t, тогда по­лу­ча­ем

3t в квад­ра­те =t плюс 4 рав­но­силь­но 3t в квад­ра­те минус t минус 4=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

от­ку­да t= минус 1 или t= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Пер­вое не­во­мож­но, по­сколь­ку 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0. Вто­рое сво­дит­ся к

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 3 в сте­пе­ни x = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни x =4 рав­но­силь­но x= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 4.

г)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 b пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Тогда во-пер­вых b боль­ше 0, а во-вто­рых при таких b не­ра­вен­ство при­мет вид

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби b мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но b мень­ше 4.

 

Ответ: а)  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , б)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , в)  левая фи­гур­ная скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 4 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка г)  левая круг­лая скоб­ка 0;4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1957

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2000 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 5 из 10