Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1962

1. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка .

а) Вычислите f левая круглая скобка \log _34 правая круглая скобка .

б) Найдите все значения x, при которых график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка расположен ниже прямой y= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

в) Решите уравнение 3f в квадрате левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4.

г) Найдите все числа b такие, что f левая круглая скобка \log _3b правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Последовательно получим

f левая круглая скобка логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

б) Условие задачи просто означает, что f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , то есть

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени x меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 3 в степени x меньше 4 равносильно x меньше логарифм по основанию 3 4.

в) Обозначим f левая круглая скобка x правая круглая скобка =t, тогда получаем

3t в квадрате =t плюс 4 равносильно 3t в квадрате минус t минус 4=0 равносильно левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t минус 4 правая круглая скобка =0,

откуда t= минус 1 или t= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби . Первое невоможно, поскольку 3 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше 0. Второе сводится к

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени x = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 3 в степени x =4 равносильно x= логарифм по основанию 3 4.

г) Запишем неравенство в виде  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 b правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда во-первых b больше 0, а во-вторых при таких b неравенство примет вид

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби b меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно b меньше 4.

 

Ответ: а)  дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , б)  левая круглая скобка минус бесконечность , логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка , в)  левая фигурная скобка логарифм по основанию 3 4 правая фигурная скобка г)  левая круглая скобка 0;4 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1957

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 2
? Классификатор: Показательные неравенства, Показательные уравнения и их системы
?
Сложность: 5 из 10