PDF-версии: 
3.Б. Дана функция 
а) Найдите первообразную 
функции 
график которой проходит через точку с координатами 
б) Постройте график найденной первообразной.
в) Найдите уравнение касательной к графику найденной первообразной в его точке с абсциссой 
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций 
и отрезком 
оси абсцисс.
Решение. а) Любая первообразная данной функции имеет вид
При этом после подстановки 
должно получаться −18, то есть 
или же 
откуда 
б) Функция F(x) — кубический многочлен. Она определена везде и принимает все значения. Записав ее в виде 
(
поймем, что ее корни 
и 
У нее нет асимптот. Ее производная 
положительна при 
и при 
и отрицательна при 
поэтому cама функция возрастает при 
и при 
и убывает при 
Следовательно, 
— ее точка максимума, а — ее точка минимума, 
Ее вторая производная 
положительна при 
и отрицательна при 
поэтому функция выпукла вверх при 
и выпукла вниз при 
Точка 
— ее точка перегиба,
Осталось построить график.
в) Поскольку 
и 
уравнение касательной имеет вид 
то есть 
Касательной является ось абсцисс.
г) Сразу отметим, что 
и что 
(и, значит, 
) при 
а также 
при 
(все это следует из пункта б). Решим сначала уравнение 
тогда 
и 
Последнее нас не интересует, оно не лежит на указанном отрезке. Возьмем любое 
например 
Тогда 
значит, на этом участке график 
идет ниже графика 
Возьмем любое 
например 
Тогда 
значит, на этом участке график F(x) идет выше графика Итак, область ограничена сверху отрезком оси абсцисс, а снизу на промежутке 
графиком 
на промежутке 
графиком 
Тогда
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) см. рис.; в) г) б) см. рис.; в) г)