Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1914

3.А. Дана функция f(x)= корень из (x плюс 3) минус корень из (b минус 2x) .

а) Найдите все значения параметра b такие, что число x_0= минус 2 является корнем уравнения f(x)= минус 2.

б) Пусть b=5. Решите уравнение f(x)= минус 2.

в) Пусть b=5. Сравните числа |f(2)| и |f(0)|.

г) Найдите все значения параметра b такие, что областью определения функции y=f(x) является отрезок.

Спрятать решение

Решение.

а) Подставим x= минус 2 в уравнение  корень из (x плюс 3) минус корень из (b минус 2x) = минус 2. Получим

 корень из ( минус 2 плюс 3) минус корень из (b плюс 4) = минус 2 равносильно 1 минус корень из (b плюс 4) = минус 2 равносильно корень из (b плюс 4) =3 равносильно b плюс 4=9 равносильно b=5.

б) Запишем уравнение в виде  корень из (x плюс 3) минус корень из (5 минус 2x) = минус 2 и преобразуем его, отметив сразу, что x плюс 3 больше или равно 0 и 5 минус 2x больше или равно 0, откуда  минус 3 меньше или равно x меньше или равно 2,5. Тогда

 корень из (x плюс 3) плюс 2= корень из (5 минус 2x) равносильно x плюс 3 плюс 4 корень из (x плюс 3) плюс 4=5 минус 2x равносильно 4 корень из (x плюс 3) = минус 2 минус 3x.

Возведем в квадрат, запомнив что  минус 2 минус 3x больше или равно 0, то есть x меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , получим

16(x плюс 3)=9x в квадрате плюс 12x плюс 4 равносильно 16x плюс 48=9x в квадрате плюс 12x плюс 4 равносильно 9x в квадрате минус 4x минус 44=0 равносильно (x плюс 2)(9x минус 22)=0 равносильно совокупность выражений x= минус 2,x= дробь: числитель: 22, знаменатель: 9 конец дроби . конец совокупности .

Корень x= дробь: числитель: 22, знаменатель: 9 конец дроби  — посторонний, не удовлетворяет условию x меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

в) Сравним числа

\absf(2) меньше больше \absf(0) равносильно \abs корень из (5) минус корень из (1) меньше больше \abs корень из (3) минус корень из (5) равносильно корень из (5) минус корень из (1) меньше больше корень из (5) минус корень из (3) равносильно минус корень из (1) меньше больше минус корень из (3) равносильно корень из (3) меньше больше корень из (1) .

Поскольку  корень из (1) меньше корень из (3) , то и \absf(0) меньше \absf(2).

г) Область определения данной функции задается условиями x плюс 3 больше или равно 0 и b минус 2x больше или равно 0, то есть x больше или равно минус 3 и x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби b. Для того, чтобы эти условия задавали отрезок, необходимо и достаточно чтобы  минус 3 меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби b, то есть b больше минус 6.

 

Ответ: а) b=5; б) \ минус 2\; в) |f(2)| больше |f(0)|; г) b больше минус 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1909

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования (кроме тригонометрии), Иррациональные уравнения и их системы, Исследование функций, Сравнение чисел, Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 5 из 10