3А. Рассматривается множество K всех комплексных чисел z таких, что Число
обозначается
а) Изобразите на комплексной плоскости множество K.
б) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел z таких, что
в) Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел где
г) Среди всех таких, что
найдите такие, при которых число
будет наименьшим.
а) Множество K представляет собой угол с центром в начале координат и сторонами-лучами, наклоненными под углами
и
к положительному направлению оси абсцисс.
б) Обозначим тогда
По условию, тогда откуда
и
Первое условие дает
тогда второе превращается в
откуда
(и тогда
) или
Окончательно, подходят точки вида При этом
не подходит, поскольку тогда и
в) Запишем число z в тригонометрической форме. Тогда
Поэтому
г) Расстояние от точки (лежащей на указанной в предыдущем пункте дуге) до точки
является
Ясно, что ближайшая к
точка единичной окружности — это точка
а чтобы получить именно ее нужно брать z имеющее аргумент
Такое z разрешено.
Таким образом,
Ответ: б) прямая
в)
г)
Задание парного варианта: 1879

