Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1882
i

1.  Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _3x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _3 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 81 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 81 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 1;81 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b такие, что урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка \log _bx пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка имеет ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ную функ­цию:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 81 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 81 конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби .

а)  Решим урав­не­ние:

 дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 81 конец дроби конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 81 конец дроби конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 81 конец дроби конец дроби рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 3, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 81 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 конец дроби .

обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x=t. По­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: t минус 4 конец дроби .

До­мно­жим на t левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , за­пом­нив что t=0 или t=4 не яв­ля­ют­ся кор­ня­ми 4=3t. рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но боль­ше x=3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4/3 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

б)  Решим не­ра­вен­ство. Обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x=t, тогда

 дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 12 плюс 2t левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6 плюс t левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6 плюс t в квад­ра­те минус 4t, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби мень­ше 0.

От­ме­тим, что

t в квад­ра­те минус 4t плюс 6= левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2 боль­ше 0,

по­это­му для вы­пол­не­ния этого не­ра­вен­ства не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вия t левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, от­ку­да t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим

0 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x мень­ше 4 рав­но­силь­но 1 мень­ше x мень­ше 81.

в)  Обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x=t, при­чем t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;4 пра­вая круг­лая скоб­ка . Нас ин­те­ре­су­ет наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния  дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка 4 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби . На этом от­рез­ке оно по­ло­жи­тель­но, по­это­му зна­ме­на­тель вы­год­но вы­би­рать как можно боль­ше. Наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

t левая круг­лая скоб­ка 4 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка = минус t в квад­ра­те плюс 4t= минус левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 4

равно 4 и до­сти­га­ет­ся при t=2. Тогда f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 конец дроби =1.

г)  Решим урав­не­ние. Сразу от­ме­тим, что b не равно 1

 дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 b конец дроби конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 b, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби конец дроби .

Обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x=t, тогда

 дробь: чис­ли­тель: минус 4, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 b, зна­ме­на­тель: t конец дроби .

До­мно­жим на t левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка и за­пом­ним, что t=0 и t=4 не были кор­ня­ми. По­лу­чим  минус 4= левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 b. Это ли­ней­ное урав­не­ние при всех b боль­ше 0, b не равно 1. Оче­вид­но, что t=4 ни при каком b не яв­ля­ет­ся его кор­нем, а t=0 будет кор­нем, если  минус 4= минус 4 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 b, от­ку­да b=3.

По­это­му ответ b при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка 3 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая круг­лая скоб­ка 1;81 пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) 1; г)  левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1877

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2001 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи на наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 9 из 10