PDF-версии: 
3Б. Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Найдите наибольшее значение функции 
в) Постройте множество точек 
удовлетворяющих условию 
г) Наудачу выбирают пару чисел 
таких, что Определите вероятность того, что 
Решение. а) Решим неравенство:
Ясно, что при 
оно не определено, а при 
оно выполнено, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. При 
можно возвести неравенство в квадрат.
Поскольку 
можно сократить на 
и получить неравенство 
откуда 
Окончательно 
б) Обозначим временно 
тогда 
Получаем
то есть при 
Ответ: 2.
в) Неравенство можно переписать в виде
Значит, во-первых 
откуда 
(см. пункт а), а во-вторых, нужно построить графики функций 
и 
и отметить все точки, лежащие между ними при условии 
Ясно, что графики 
и 
отличаются симметрией относительно горизонтальной оси, как и графики и 
поэтому достаточно построить 
а для построения 
просто перевернуть его и сдвинуть вверх на 2, поскольку 
Строим график 
то есть 
при Возьмем производную данной функции
Знаменатель всегда положителен при 
а числитель положителен если 
то есть 
Значит, эта функция возрастает при 
и убывает при 
(а точка 
является точкой минимума). При этом
Возьмем вторую производную
поэтому функция на всем промежутке выпукла вниз.
Найдем корни функции, решив уравнение:
поэтому будет посторонним корнем. Так что единственным подходящим будет 
Осталось построить график и выполнить с ним указанные преобразования, чтобы построить второй график.
г) Разобъем построенную в пункте в фигуру вертикальным отрезком прямой на две части. По геометрическому определению вероятности нам нужно будет найти отношение площади правой части к площади всей фигуры. Вычислим отдельно площади правой и левой части.
Правая часть имеет площадь
Аналогично левая часть имеет площадь
Значит, искомая вероятность равна 
Ответ:а) 
б) 2; в) см. рис.; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) Неравенство можно переписать в виде
Значит, во-первых откуда (см. пункт а), а во-вторых, нужно построить графики функций и и отметить все точки, лежащие между ними при условии Ясно, что графики и отличаются симметрией относительно горизонтальной оси, как и графики и поэтому достаточно построить а для построения просто перевернуть его и сдвинуть вверх на 2, поскольку
Строим график то есть при Возьмем производную данной функции
Знаменатель всегда положителен при а числитель положителен если то есть Значит, эта функция возрастает при и убывает при (а точка является точкой минимума). При этом
Возьмем вторую производную
поэтому функция на всем промежутке выпукла вниз.
Найдем корни функции, решив уравнение:
поэтому будет посторонним корнем. Так что единственным подходящим будет Осталось построить график и выполнить с ним указанные преобразования, чтобы построить второй график.
г) Разобъем построенную в пункте в фигуру вертикальным отрезком прямой на две части. По геометрическому определению вероятности нам нужно будет найти отношение площади правой части к площади всей фигуры. Вычислим отдельно площади правой и левой части.
Правая часть имеет площадь
Аналогично левая часть имеет площадь
Значит, искомая вероятность равна а) б) 2; в) см. рис.; г)
в) Неравенство можно переписать в виде
Значит, во-первых откуда (см. пункт а), а во-вторых, нужно построить графики функций и и отметить все точки, лежащие между ними при условии Ясно, что графики и отличаются симметрией относительно горизонтальной оси, как и графики и поэтому достаточно построить а для построения просто перевернуть его и сдвинуть вверх на 2, поскольку
Строим график то есть при Возьмем производную данной функции
Знаменатель всегда положителен при а числитель положителен если то есть Значит, эта функция возрастает при и убывает при (а точка является точкой минимума). При этом
Возьмем вторую производную
поэтому функция на всем промежутке выпукла вниз.
Найдем корни функции, решив уравнение:
поэтому будет посторонним корнем. Так что единственным подходящим будет Осталось построить график и выполнить с ним указанные преобразования, чтобы построить второй график.
г) Разобъем построенную в пункте в фигуру вертикальным отрезком прямой на две части. По геометрическому определению вероятности нам нужно будет найти отношение площади правой части к площади всей фигуры. Вычислим отдельно площади правой и левой части.
Правая часть имеет площадь
Аналогично левая часть имеет площадь
Значит, искомая вероятность равна а) б) 2; в) см. рис.; г)