PDF-версии: 
3А. Дано выражение 
и множество M комплексных чисел, удовлетворяющих условию 
Точка K комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу z, обозначается 
а) Изобразите на чертеже множество M.
б) Пусть 
Найдите все корни уравнения 
принадлежащие множеству M.
в) Изобразите на чертеже множество комплексных чисел 
где 
г) Пусть 
Найдите все вещественные числа a, при которых уравнение 
имеет такой корень 
что в четырехугольник OABC можно вписать окружность.
Решение. Упростим сначала условие
Пусть 
тогда
а) Как следует из вышесказанного, множество M — это прямая 
(см. рисунок).
б) Подставляя 
получаем уравнение
В множестве M из них лежит только 
в) Поскольку 
запишем его в виде 
Тогда 
То есть в этом множестве лежат точки, у которых координаты отличаются только знаком. Значит, это прямая 
(см. рисунок).
г) Для того, чтобы четырехугольник был описанным, нужно чтобы он был выпуклым и суммы его противоположных сторон были равны. То есть 
Пусть далее 
Получаем
Итак, подходящие 
обязаны иметь вид 
(но не все такие могут подходить, поскольку может не получаться выпуклого четырехугольника). Подставим такое в уравнение, где a — вещественно
Следовательно, 
и 
Второе уравнение дает 
или 
Если 
то 
эта точка в любом случае не подходит, можно даже не искать a.
Если же 
то первое уравнение превращается в
или 
Нетрудно видеть (см. рис.), что первая точка не подходит (поскольку O оказывается внутри треугольника ABC), вторая подходит. Для нее 
Ответ:
Ответ: а) см. рис.; б) 
в) см. рис.; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Ответ: а) см. рис.; б) в) см. рис.; г)
Ответ: а) см. рис.; б) в) см. рис.; г)