PDF-версии: 
3Б. Дана функция 
а) Напишите уравнение касательной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
б) Решите неравенство 
в) Постройте множество точек с координатами 
удовлетворяющими условиям 
г) Сравните 
и 
Решение. а) Поскольку
то 
и 
поэтому уравнение касательной имеет вид 
или 
б) Запишем неравенство в виде 
и преобразуем его
Разложим многочлен в числителе на множители. Поскольку по пункту а график 
касается прямой 
в точке с абсциссой 
этот многочлен наверняка делится на 
Получим
Пользуясь методом интервалов, получим ответ 
в) Описанное этой системой множество точек представляет собой часть вертикальной полосы, ограниченной вертикальными прямыми 
и 
Эту полосу пересекают графики и 
причем 
ни в одной точке промежутка 
не выполняется. Поскольку
что положительно при 
и отрицательно при 
то функция убывает на 
и возрастает на 
при этом 
По этим данным можно построить график. Он и искомое множество изображено на рисунке (см. рис.).
г) При 
выполнено неравенство 
Значит,
Комментарий. Если вычислить интеграл напрямую, получится
Для доказательства неравенства можно свести его к тому, что 
Для доказательства этого неравенства требуется изначально взять e минимум с тремя знаками после запятой и после этого довольно точно оценивать получаемые числа (посчитать их напрямую не выйдет, а разница между ними примерно 
от любого из них).
Ответ: а) 
б) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) б)