PDF-версии: 
2. Дана функция 
а) Найдите все значения параметра a такие, что число 
является корнем уравнения 
б) Пусть 
Постройте график функции 
на отрезке 
в) Пусть Изобразите на координатной плоскости множество всех точек с координатами 
такими, что 
и 
г) Найдите все значения параметра a из отрезка 
такие, что уравнение 
имеет хотя бы одно решение при всяком b из отрезка 
Решение. а) Подставим 
Получим
Ответ: 
б) Преобразуем функцию.
Значит можно построить этот график цепочкой преобразований
сжать его вдвое по горизонтали, потом вдвое по вертикали, потом отразить относительно горизонтальной оси и, наконец, сдвинуть вниз на 
в) Определим сначала точки на отрезке 
в которых функция принимает значение 0. Решим уравнение:
и 
Как видно из графика, функция 
положительна между этими точками и отрицательна при 
Теперь перейдем к задаче. Нужно чтобы и 
имели одинаковый знак. То есть либо были оба отрицательными, либо оба положительными. Разобъем квадрат 
на 9 частей линиями 
и заштрихуем те части, в которых это условие выполнено.
г) Преобразуем функцию:
Поскольку 
принимает все значения от −1 до 1, то эта функция принимает все значения от 
до 
(отметим, что 
поскольку 
Итак, функция принимает значения на отрезке длины 1. Но и отрезок 
имеет длину 1, а все значения из него должны приниматься. Значит, это один и тот же отрезок, откуда 
значит, 
или 
— других таких точек на 
нет.
Ответ: или 
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Преобразуем функцию.
Значит можно построить этот график цепочкой преобразований
сжать его вдвое по горизонтали, потом вдвое по вертикали, потом отразить относительно горизонтальной оси и, наконец, сдвинуть вниз на в) Определим сначала точки на отрезке в которых функция принимает значение 0. Решим уравнение:
и Как видно из графика, функция положительна между этими точками и отрицательна при
Теперь перейдем к задаче. Нужно чтобы и имели одинаковый знак. То есть либо были оба отрицательными, либо оба положительными. Разобъем квадрат на 9 частей линиями и заштрихуем те части, в которых это условие выполнено.
г) Преобразуем функцию:
Поскольку принимает все значения от −1 до 1, то эта функция принимает все значения от до (отметим, что поскольку
Итак, функция принимает значения на отрезке длины 1. Но и отрезок имеет длину 1, а все значения из него должны приниматься. Значит, это один и тот же отрезок, откуда значит, или — других таких точек на нет.
Ответ: или а) б) см. рис.; в) см. рис.; г)
б) Преобразуем функцию.
Значит можно построить этот график цепочкой преобразований
сжать его вдвое по горизонтали, потом вдвое по вертикали, потом отразить относительно горизонтальной оси и, наконец, сдвинуть вниз на в) Определим сначала точки на отрезке в которых функция принимает значение 0. Решим уравнение:
и Как видно из графика, функция положительна между этими точками и отрицательна при
Теперь перейдем к задаче. Нужно чтобы и имели одинаковый знак. То есть либо были оба отрицательными, либо оба положительными. Разобъем квадрат на 9 частей линиями и заштрихуем те части, в которых это условие выполнено.
г) Преобразуем функцию:
Поскольку принимает все значения от −1 до 1, то эта функция принимает все значения от до (отметим, что поскольку
Итак, функция принимает значения на отрезке длины 1. Но и отрезок имеет длину 1, а все значения из него должны приниматься. Значит, это один и тот же отрезок, откуда значит, или — других таких точек на нет.
Ответ: или а) б) см. рис.; в) см. рис.; г)