PDF-версии: 
3В. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами 
такими, что 
в) Наудачу выбирается целое число a из отрезка 
Определите вероятность того, что уравнение 
имеет целое решение.
г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение 
не имеет решений на отрезке 
Решение. а) Данное уравнение сводится к двум вариантам:
1) либо 
2) либо 
отсюда 
или 
где второй корень является посторонним, т. к. 
Итого, 
б) График функции
—
График функции 
—
где она пересекается с ветвью параболы (см. пункт а). Значит, условию удовлетворяют все точки, расположенные между этими графиками при 
График изображен справа на рисунке.
в) Всего на этом отрезке 25 целых чисел. Если выбрать отрицательное, то решений точно не будет. Если же выбрать неотрицательное, то можно будет возвести уравнение в квадрат
Чтобы это число получилось целым, 
должно быть нечетным. Значит, и a должно быть нечетно. Таких неотрицательных a ровно 6 
г) Рассмотрим рисунок в пункте б) и найдем вначале, при каких значениях параметра уравнение имеет решения. Прямые, проходящие через начало координат (
) пересекают график 
при 
(при 
пересечение происходит в точке а при более отрицательных a - в точке с абсциссой от −4 до 0, поскольку прямая сильнее наклонена). При 
прямые слишком пологие, чтобы было пересечение с нужной частью графика, а при 
вообще наклонены в другую сторону и не проходят через вторую четверть. Следовательно, решения есть при 
поэтому уравнение не имеет решений при 
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) 
г)
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) см. рис.; в) г) б) см. рис.; в) г)