PDF-версии: 
3Б. Дана функция 
а) Напишите уравнения касательных к графику функции 
параллельных оси абсцисс.
б) Постройте график функции 
на отрезке 
в) Докажите, что 
г) Найдите наименьшее значение площади фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми 
для 
Решение. Преобразуем функцию
а) Чтобы касательная была параллельна оси абсцисс, ее угловой коэффициент должен быть равен нулю, то есть производная в точке касания должна быть равна нулю. Возьмем производную
Решая уравнение 
получим 
или 
При этом 
и 
значит, уравнения касательных будут 
и 
б) Функция определена на всем отрезке за исключением точки 
При этом 
Исследуя производную методом интервалов, получим что 
при 
(при таких x функция возрастает) и 
при 
(при таких x функция убывает). Значит, 
это точка максимума, а —
Пользуясь этими данными построим график.
в) Вычислим интеграл
поскольку 
то 
и
Есть и другое решение. Как мы только что установили в пункте б, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
при этом 
Значит, на всем промежутке длины 
функция принимает значения не большие чем 
поэтому площадь под ее графиком не превосходит 
г) Поскольку при 
для всех точек отрезка 
выполнено условие 
то 
на всем этом промежутке. Тогда площадь можно записать в виде 
где 
—
Исследуем эту функцию. Возьмем ее производную
Первый множитель положителен при 
Второй же отрицателен при 
и положителен при 
значит, 
убывает при 
и возрастает при 
то есть ее наименьшее значение достигается при 
и было вычислено в предыдущем пункте. Окончательный ответ: 
Ответ: а) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |