PDF-версии: 
3А. Рассматриваются комплексные числа z и 
а) Запишите в алгебраической форме все числа z такие, что 
б) Изобразите на чертеже совокупность всех чисел z таких, что 
и 
в) Пусть 
Найдите наибольшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.
г) Пусть 
Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих 
и u, и начале координат O.
Решение. а) Решим уравнение 
т. е. 
Ясно, что 
является его корнем, что помогает разложить на множители 
отсюда или 
б) Если
то 
причем 
Подставив такое z, получим
При 
выражение под модулем отрицательно. Значит, 
Домножим обе части на 
Итак, искомое множество — отрезок вертикальной оси между точками 
и 
(см. рис.).
в) Упростим исходное выражение
Это значение достигается, если 
г) Заметим, что
и 
То есть у этого треугольника две стороны имеют длины 3 и 1. Если угол между ними равен 
то
Равенство может достигаться, если 
что действительно возможно при
это число подобрано так, чтобы 
поскольку тогда угол между векторами z и 
будет равен
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |