PDF-версии: 
2. Дана функция 
а) Решите неравенства 
б) Решите уравнение 
в) Найдите промежутки монотонности функции 
г) Выясните, сколько корней имеет уравнение 
в зависимости от a (при 
).
Решение. Преобразуем функцию 
а) Обозначим 
тогда неравенство примет вид
Тогда 
или 
отсюда 
или 
Окончательно 
б) Обозначим тогда
и получаем
Значит, либо 
откуда 
—
либо
этот корень уже найден. Итого, 
в) Заметим, что 
—
поэтому убывает при 
и возрастает при 
Поскольку 
— убывает при 
и возрастает при 
Окончательно убывает на 
и возрастает на 
г) Заметим, что
Обозначим 
Получаем
При 
годится любое t, то есть при 
годится любое 
При прочих b получаем уравнение 
имеющее один корень 
откуда 
— бесконечно много корней, при 
—
Ответ: а) 
б) 
в) на 
функция убывает; на 
— возрастает; г) при 
— бесконечно много решений; при 
— один корень.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) на функция убывает; на — возрастает; г) при — бесконечно много решений; при — один корень. б) в) на функция убывает; на — возрастает; г) при — бесконечно много решений; при — один корень.