Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1748
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми y2  =  x и x − y  =  2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Будем рас­смат­ри­вать вме­сто дан­ных линий дру­гие две, y  =  x2 и y − x  =  2, по­ме­няв пе­ре­мен­ные ме­ста­ми (при такой за­ме­не все точки и линии за­ме­ня­ют­ся на сим­мет­рич­ные им от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы пер­вой и тре­тьей чет­вер­тей, по­это­му пло­щадь фи­гу­ры не ме­ня­ет­ся). Най­дем сна­ча­ла точки их пе­ре­се­че­ния, решив си­сте­му:

 левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned y=x в квад­ра­те , y минус x=2 \endaligned. рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned y=x в квад­ра­те , x в квад­ра­те минус x=2 \endaligned. рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned y=x в квад­ра­те , x в квад­ра­те минус x минус 2=0 \endaligned. рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned y=x в квад­ра­те , левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 \endaligned.

от­ку­да по­лу­ча­ем: x  =  −1 (тогда y  =  1) или x  =  2 (тогда y  =  4). За­ме­тим, что при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка гра­фик y  =  x2 про­хо­дит ниже гра­фи­ка y  =  2 + x, по­это­му

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от минус 1 до 2, левая круг­лая скоб­ка 2 плюс x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx= левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка |_ минус 1 в квад­ра­те =
= 2 умно­жить на 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 8 минус 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 4 плюс 2 минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =8 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 3= целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 .

Ответ:  целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2158

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1982 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 8 из 10