2. Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Пусть a > 1. График функции f похож на синусоиду, в частности, эта функция монотонна на тех же участках, что и косинус. Докажите, что, однако, график y = f(x) не имеет центра симметрии.
в) Найдите (в зависимости от a) наибольшее значение суммы 
г) Пусть 
Рассмотрим множество 
ограниченное осью абсцисс и дугой графика y = f(x), 
Найдите вероятность того, что случайно выбранная в 
точка является серединой хорды, концы которой лежат на рассматриваемой дуге графика данной функции.
а) Запишем уравнение в виде 
и решим его
Кроме того, должно выполняться условие 
Ясно, что для последнего набора оно нарушается.
Итак, ответ 
б) Допустим, что точка 
- центр симметрии графика. Тогда вместе с точкой 
на графике должна лежать и точка 
То есть, если 
то 
То есть функция 
— постоянная.
Кроме того, наибольшее значение функции равно 
и достигается в точках вида 
а наименьшее равно 
и достигается в точках вида 
Такие точки должны быть симметричны друг другу. Значит,
и 
Тогда функция принимает вид
Итак, равенство
тогда
а это невозможно!
в) Имеем:
По неравенству о среднем арифметическом и среднем квадратичном имеем
Причем равенство достигается при условии 
и 
что верно при 
Все эти рассуждения верны при 
При прочих a функция не определена ни в одной точке.
г) Заметим, что концы дуги, при 
лежат на горизонтальной оси. Пусть 
— точка, лежащая в указанной области, то есть 
и 
Выясним, когда эта точка является серединой хорды графика. Для этого должно существовать решение системы
Пусть для определенности 
(если 
то точки совпадают). Пусть 
где 
Выражая y из первого уравнения и подставляя во второе, получим, что должно существовать решение уравнения
Исследуем функцию
Возьмем ее производную:
Найдем корни производной. Решая уравнение 
получим
Пусть 
и 
а 
Тогда
Ответ: 
Задание парного варианта: 2136