PDF-версии: 
i
2. Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Пусть a > 1. График функции f похож на синусоиду, в частности, эта функция монотонна на тех же участках, что и косинус. Докажите, что, однако, график y = f(x) не имеет центра симметрии.
в) Найдите (в зависимости от a) наибольшее значение суммы 
г) Пусть 
Рассмотрим множество 
ограниченное осью абсцисс и дугой графика y = f(x), 
Найдите вероятность того, что случайно выбранная в 
точка является серединой хорды, концы которой лежат на рассматриваемой дуге графика данной функции.
и решим его
Ясно, что для последнего набора оно нарушается.
- центр симметрии графика. Тогда вместе с точкой 
на графике должна лежать и точка 
То есть, если 
то 
То есть функция 
— постоянная.
и достигается в точках вида 
а наименьшее равно 
и достигается в точках вида 
Такие точки должны быть симметричны друг другу. Значит, 
и 
тогда
и 
что верно при 
При прочих a функция не определена ни в одной точке.
лежат на горизонтальной оси. Пусть 
— точка, лежащая в указанной области, то есть 
и 
Выясним, когда эта точка является серединой хорды графика. Для этого должно существовать решение системы
(если 
то точки совпадают). Пусть 
где 
Выражая y из первого уравнения и подставляя во второе, получим, что должно существовать решение уравнения
получим
и 
а 
Тогда
