Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1731

3В. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка b в квадрате минус 4 правая круглая скобка x минус левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка .

а) Решите уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 при b= минус 1.

б) Решите относительно b неравенство f левая круглая скобка b правая круглая скобка меньше или равно 0.

в) Решите уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 при условии, что один из его корней равен -1.

г) Выясните, при каких значениях параметра b уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a имеет единственный корень при любом a.

Спрятать решение

Решение.

а) При b= минус 1 получаем x в кубе минус x в квадрате минус 3x минус 1=0. У него можно угадать корень x= минус 1, поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет x плюс 1. Получаем уравнение  левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 1 правая круглая скобка =0.

Значит либо x= минус 1, либо x в квадрате минус 2x минус 1=0 равносильно x= дробь: числитель: 2\pm корень из 8, знаменатель: 2 конец дроби =1\pm корень из 2.

б) Перепишем неравенство, подставив x=b.

b в кубе минус b в квадрате плюс левая круглая скобка b в квадрате минус 4 правая круглая скобка b минус левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно b в кубе минус b в квадрате плюс b в кубе минус 4b минус b минус 2 меньше или равно 0 равносильно 2b в кубе минус b в квадрате минус 5b минус 2 меньше или равно 0.

У многочлена в левой части есть корень b= минус 1, поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет b плюс 1.

 левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2b в квадрате минус 3b минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2b плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0.

Поэтому корнями уравнения  левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2b плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 будут b=2, b= минус 1 и b= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Пользуясь методом интервалов, получаем ответ b принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая квадратная скобка .

в) Подставим x= минус 1 в уравнение. Получим

 минус 1 минус 1 минус левая круглая скобка b в квадрате минус 4 правая круглая скобка минус левая круглая скобка b плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно минус 2 минус b в квадрате плюс 4 минус b минус 2=0 равносильно b в квадрате плюс b=0 равносильно b левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно система выражений b=0,b= минус 1. конец системы .

Второй случай был разобран в пункте а). Если же b=0, то получаем x в кубе минус x в квадрате минус 4x минус 2=0. У него есть корень x= минус 1, поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет x плюс 1. Получаем, что  левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка =0, корнями второго множителя будут  дробь: числитель: минус 2\pm корень из 8, знаменатель: 2 конец дроби = минус 1\pm корень из 2 Значит, при b= минус 1: x= минус 1, x=1\pm корень из 2; при b=0: x= минус 1, x= минус 1\pm корень из 2.

г) Функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка при любом b представляет собой кубический многочлен. Поэтому она имеет промежутки монотонности. Если этих промежутков больше одного, то на двух соседних промежутках, где характер монотонности различен, она примет какое-то значение дважды. Значит, она должна всюду возрастать или всюду убывать. Значит, ее производная f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 2x плюс b в квадрате минус 4 должна сохранять знак. Ясно, что она не может быть всюду неположительна. Значит, 3x в квадрате минус 2x плюс b в квадрате минус 4 больше или равно 0. Для этого дискриминант полученного квадратного трехчлена должен быть неположительным.

4 минус 4 умножить на 3 умножить на левая круглая скобка b в квадрате минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 1 минус 3 левая круглая скобка b в квадрате минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 1 минус 3b в квадрате плюс 12 меньше или равно 0 равносильно 3b в квадрате больше или равно 13 равносильно b в квадрате больше или равно дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби .

Получаем b больше или равно корень из дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби или b меньше или равно минус корень из дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фигурная скобка минус 1; 1\pm корень из 2 правая фигурная скобка , б) левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 правая квадратная скобка , в)  левая фигурная скобка минус 1; 1\pm корень из 2 правая фигурная скобка , при b= минус 1;  левая фигурная скобка минус 1; 1\pm корень из 3 правая фигурная скобка , при b=0, г) b больше или равно корень из дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби , b меньше или равно минус корень из дробь: числитель: 13, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1709

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 2
? Классификатор: Неравенства с параметром, Рациональные уравнения и их системы, Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 9 из 10