Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1709

3В. Дана функция f(x)=x в кубе минус (a плюс 1)x в квадрате плюс (a в квадрате минус 3)x плюс 2.

а) Решите уравнение f(x)=0 при a=2.

б) Решите относительно a неравенство f(a) больше или равно 0.

в) Решите уравнение f(x)=0 при условии, что один из его корней равен 2.

г) Выясните, при каких значениях a уравнение f(x)=b имеет единственный корень при любом b.

Спрятать решение

Решение.

а) При a=2 получаем x в кубе минус 3x в квадрате плюс x плюс 2=0. У него можно угадать корень x=2, поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет x минус 2. Получаем уравнение (x минус 2)(x в квадрате минус x минус 1)=0.

Значит либо x=2, либо x в квадрате минус x минус 1=0 равносильно x= дробь: числитель: 1\pm корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби .

б) Перепишем неравенство, подставив x=a.

a в кубе минус (a плюс 1)a в квадрате плюс (a в квадрате минус 3)a плюс 2 больше или равно 0 равносильно a в кубе минус a в кубе минус a в квадрате плюс a в кубе минус 3a плюс 2 больше или равно 0 равносильно a в кубе минус a в квадрате минус 3a плюс 2 больше или равно 0.

У многочлена в левой части есть корень a=2, поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет a минус 2. Получаем неравенство (a минус 2)(a в квадрате плюс a минус 1) больше или равно 0. Поэтому корнями уравнения (a минус 2)(a в квадрате плюс a минус 1)=0 будут a=2 и a= дробь: числитель: минус 1\pm корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби , причем  дробь: числитель: минус 1 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: минус 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби меньше 2.

Пользуясь методом интервалов, получаем ответ a принадлежит [ дробь: числитель: минус 1 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ]\cup [2; принадлежит fty).

в) Подставим x=2 в уравнение. Получим

8 минус (a плюс 1) умножить на 4 плюс (a в квадрате минус 3) умножить на 2 плюс 2=0 равносильно 8 минус 4a минус 4 плюс 2a в квадрате минус 6 плюс 2=0 равносильно 2a в квадрате минус 4a=0 равносильно 2a(a минус 2)=0 равносильно совокупность выражений a=0,a=2. конец совокупности

Второй случай был разобран в пункте а). Если же a=0, то получаем x в кубе минус x в квадрате минус 3x плюс 2=0. В пункте б) мы уже решали это уравнение (только переменная называлась по-другому), так что можно сразу написать ответ, при a=2: x=2, x= дробь: числитель: 1\pm корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ; при a=0: x=2, x= дробь: числитель: минус 1\pm корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби .

г) Функция f(x) при любом a представляет собой кубический многочлен. Поэтому она имеет промежутки монотонности. Если этих промежутков больше одного, то на двух соседних промежутках, где характер монотонности различен, она примет какое-то значение дважды. Значит, она должна всюду возрастать или всюду убывать. Значит, ее производная f'(x)=3x в квадрате минус 2(a плюс 1)x плюс a в квадрате минус 3 должна сохранять знак. Ясно, что она не может быть всюду неположительна. Значит, 3x в квадрате минус 2(a плюс 1)x плюс a в квадрате минус 3 больше или равно 0. Для этого дискриминант полученного квадратного трехчлена должен быть неположительным.

4(a плюс 1) в квадрате минус 4 умножить на 3 умножить на (a в квадрате минус 3) меньше или равно 0 равносильно (a плюс 1) в квадрате минус 3(a в квадрате минус 3) меньше или равно 0 равносильно
 равносильно a в квадрате плюс 2a плюс 1 минус 3a в квадрате плюс 9 меньше или равно 0 равносильно минус 2a в квадрате плюс 2a плюс 10 меньше или равно 0 равносильно a в квадрате минус a минус 5 больше или равно 0.

Корнями уравнения a в квадрате минус a минус 5=0 будут a= дробь: числитель: 1\pm корень из (21) , знаменатель: 2 конец дроби , поэтому неравенство выполнено при a больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из (21) , знаменатель: 2 конец дроби и при a меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из (21) , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а)\left\2; дробь: числитель: 1\pm корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби \, б) левая квадратная скобка дробь: числитель: минус 1 минус корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: минус 1 плюс корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup [2; плюс принадлежит fty), в) \left\2; дробь: числитель: минус 1\pm корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби \ при a=0; \left\2; дробь: числитель: 1\pm корень из (5) , знаменатель: 2 конец дроби \ при a=2, г) a меньше или равно дробь: числитель: 1 минус корень из (21) , знаменатель: 2 конец дроби ; a больше или равно дробь: числитель: 1 плюс корень из (21) , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1731

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1992 год, вариант 1
? Классификатор: Неравенства с параметром, Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 9 из 10