3В. Дана функция 
а) Решите уравнение 
при 
б) Решите относительно a неравенство 
в) Решите уравнение при условии, что один из его корней равен 2.
г) Выясните, при каких значениях a уравнение 
имеет единственный корень при любом b.
а) При 
получаем 
У него можно угадать корень 
поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет 
Получаем уравнение 
Значит либо либо 
б) Перепишем неравенство, подставив 
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет 
Получаем неравенство 
Поэтому корнями уравнения 
будут и 
причем 
Пользуясь методом интервалов, получаем ответ 
в) Подставим 
в уравнение. Получим
Второй случай был разобран в пункте а). Если же 
то получаем 
В пункте б) мы уже решали это уравнение (только переменная называлась по-другому), так что можно сразу написать ответ, при 
при 
г) Функция 
при любом a представляет собой кубический многочлен. Поэтому она имеет промежутки монотонности. Если этих промежутков больше одного, то на двух соседних промежутках, где характер монотонности различен, она примет какое-то значение дважды. Значит, она должна всюду возрастать или всюду убывать. Значит, ее производная 
должна сохранять знак. Ясно, что она не может быть всюду неположительна. Значит, 
Для этого дискриминант полученного квадратного трехчлена должен быть неположительным.
Корнями уравнения 
будут 
поэтому неравенство выполнено при 
и при 
Ответ: а)
б)
в) 
при 
при г) 
Задание парного варианта: 1731