PDF-версии: 
3А. Рассматриваются комплексные числа z и 
а) Пусть 
Запишите в алгебраической форме все числа b такие, что 
б) Изобразите на чертеже множество всех комплексных чисел z таких, что 
в) Пусть 
Изобразите на чертеже множество всех чисел 
г) Пусть Найдите все числа z такие, что начало координат O и точки, соответствующие числам z, 
и 
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть 
тогда 
а) Если 
то 
Решим уравнение
Либо 
либо 
Ответ: 
б) Если 
то либо 
либо 
То есть либо 
либо 
Первое уравнение дает 
откуда 
— это горизонтальная прямая.
Второе уравнение дает 
откуда 
— это вертикальная ось (см. левый рисунок).
в) Заметим, что цепочка преобразований 
сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на 
Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на 
(она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке ) (см. правый рисунок).
г) Если z чисто мнимое число, то точки 
лежат на вертикальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то 
или 
то есть 
Только последняя из них лежит на единичной окружности, и для нее получаются точки 
и 
всего две различных точки. Этот случай годится.
Если же z не чисто мнимое, то 
и точки z и 
симметричны относительно вертикальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и 
лежит на ней.
Далее, 
а 
отсюда видно, что при 
(а если 
и при этом точка лежит на единичной окружности, то 
этот случай уже разобран) отрезок, соединяющий эти точки, вертикален, поэтому серединный перпендикуляр к нему — горизонтальная прямая, проходящая через 
Итак, центром окружности должна быть точка i. Значит, радиус окружности равен 
По условию расстояние от точки z до точек 0 и i должно быть равно 1, поэтому треугольник с вершинами 
— равносторонний и имеет углы по 
Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов (угол 
с вертикальной осью дает угол 
с горизонтальной)
Эти точки подходят, поскольку для них просто заменяет одну из них на другую (так что расстояния до точки i остаются равными 1) и
Ответ: 
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Если то либо либо То есть либо либо
Первое уравнение дает откуда — это горизонтальная прямая.
Второе уравнение дает откуда — это вертикальная ось (см. левый рисунок).
в) Заметим, что цепочка преобразований сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на (она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке ) (см. правый рисунок).
г) Если z чисто мнимое число, то точки лежат на вертикальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то или то есть Только последняя из них лежит на единичной окружности, и для нее получаются точки и всего две различных точки. Этот случай годится.
Если же z не чисто мнимое, то и точки z и симметричны относительно вертикальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и лежит на ней.
Далее, а отсюда видно, что при (а если и при этом точка лежит на единичной окружности, то этот случай уже разобран) отрезок, соединяющий эти точки, вертикален, поэтому серединный перпендикуляр к нему — горизонтальная прямая, проходящая через Итак, центром окружности должна быть точка i. Значит, радиус окружности равен
По условию расстояние от точки z до точек 0 и i должно быть равно 1, поэтому треугольник с вершинами — равносторонний и имеет углы по Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов (угол с вертикальной осью дает угол с горизонтальной)
Эти точки подходят, поскольку для них просто заменяет одну из них на другую (так что расстояния до точки i остаются равными 1) и
Ответ: а) б) см. рис.; в) см. рис.; г)
б) Если то либо либо То есть либо либо
Первое уравнение дает откуда — это горизонтальная прямая.
Второе уравнение дает откуда — это вертикальная ось (см. левый рисунок).
в) Заметим, что цепочка преобразований сначала отражает точку z относительно начала координат, а потом сдвигает полученную точку на Значит, нужно сначала отразить единичную окружность относительно начала координат (она останется собой), а потом сдвинуть на (она превратится в окружность радиуса 1 с центром в точке ) (см. правый рисунок).
г) Если z чисто мнимое число, то точки лежат на вертикальной оси. Если они все различны, то они не могут лежать на окружности. Если же нет, то или то есть Только последняя из них лежит на единичной окружности, и для нее получаются точки и всего две различных точки. Этот случай годится.
Если же z не чисто мнимое, то и точки z и симметричны относительно вертикальной оси. Значит, она является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку и потому центр любой окружности, проходящей через z и лежит на ней.
Далее, а отсюда видно, что при (а если и при этом точка лежит на единичной окружности, то этот случай уже разобран) отрезок, соединяющий эти точки, вертикален, поэтому серединный перпендикуляр к нему — горизонтальная прямая, проходящая через Итак, центром окружности должна быть точка i. Значит, радиус окружности равен
По условию расстояние от точки z до точек 0 и i должно быть равно 1, поэтому треугольник с вершинами — равносторонний и имеет углы по Это позволяет найти такие точки с точностью до двух вариантов (угол с вертикальной осью дает угол с горизонтальной)
Эти точки подходят, поскольку для них просто заменяет одну из них на другую (так что расстояния до точки i остаются равными 1) и
Ответ: а) б) см. рис.; в) см. рис.; г)