PDF-версии: 
3В. Дана функция 
а) Решите уравнение 
при 
б) Решите относительно a неравенство 
в) Решите уравнение при условии, что один из его корней равен 2.
г) Выясните, при каких значениях a уравнение 
имеет единственный корень при любом b.
Решение. а) При 
получаем 
У него можно угадать корень 
поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет 
Получаем уравнение 
Значит либо либо 
б) Перепишем неравенство, подставив 
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому левая часть раскладывается на множители, одним из которых будет 
Получаем неравенство 
Поэтому корнями уравнения 
будут и 
причем 
Пользуясь методом интервалов, получаем ответ 
в) Подставим 
в уравнение. Получим
Второй случай был разобран в пункте а). Если же 
то получаем 
В пункте б) мы уже решали это уравнение (только переменная называлась по-другому), так что можно сразу написать ответ, при 
при 
г) Функция 
при любом a представляет собой кубический многочлен. Поэтому она имеет промежутки монотонности. Если этих промежутков больше одного, то на двух соседних промежутках, где характер монотонности различен, она примет какое-то значение дважды. Значит, она должна всюду возрастать или всюду убывать. Значит, ее производная 
должна сохранять знак. Ясно, что она не может быть всюду неположительна. Значит, 
Для этого дискриминант полученного квадратного трехчлена должен быть неположительным.
Корнями уравнения 
будут 
поэтому неравенство выполнено при 
и при 
Ответ: а)
б)
в) 
при 
при г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) при при г) б) в) при при г)