PDF-версии: 
3Б. Даны комплексные числа 
и 
а) Изобразите на чертеже множество M всех таких комплексных чисел z, что 
б) Изобразите на чертеже множество K всех таких комплексных чисел z, что 
в) Найдите все числа, содержащиеся и в K , и в M.
г) Среди чисел, принадлежащих множеству K, найдите число с наименьшим модулем.
Решение. а) По условию, расстояние между z и
должно быть не больше единицы, поэтому ответом будет круг с центром в i и радиусом 1 (см. рисунок).
б) По условию, z равноудалена от i и 
поэтому лежит на серединном перпендикуляре к соединяющему их отрезку (см. рисунок).
в) Пусть 
тогда первое условие дает 
получаем 
Второе условие дает 
получаем
Подставляя это в первое уравнение, получим:
Итак, 
(окружность и прямая касаются. Это неудивительно, поскольку 
а радиус окружности вдвое меньше).
г) Для точек на прямой 
получим:
Ясно, что наименьшее значение этого выражения будет при таком x, при котором наименьшим будет подкоренное выражение, то есть при 
Отсюда 
и искомая точка 
(Это основание перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат).
Ответ: а) см. рис., б) см. рис., в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
г) г)