PDF-версии: 
3А. Дана функция 
а) Напишите уравнение касательной l к графику функции f в точке с абсциссой 7.
б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f на отрезке 
в) Постройте график функции f на отрезке 
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, касательной l и осью абсцисс.
Решение. а) Возьмем производную исходной функции.
При 
получаем 
и 
поэтому уравнение касательной имеет вид:
б) Решим уравнение:
Ясно, что при 
получим 
откуда 
и 
значит, 
возрастает при и аналогично убывает при 
поэтому ее наименьшее значение это 
а наибольшее либо 
либо 
Получаем, что наибольшее значение 
а наименьшее 
в) Продолжим исследовать функцию. Мы уже знаем, что она возрастает на
и знаем, что поэтому других корней у нее нет. Она определена при всех 
непрерывна, асимптот не имеет. Осталось исследовать выпуклость:
значит, функция принимает все значения из промежутка 
г) Касательная пересекает ось в такой точке, где 
то есть 
откуда 
Поскольку функция выпукла вниз, касательная лежит ниже графика функции. Значит, область ограничена сверху графиком функции, а снизу на промежутке 
осью абсцисс, а на промежутке 
— касательной. Опустим на ось перпендикуляр из точки 
Под касательной образуется прямоугольный треугольник с катетами 4 и 
поэтому его площадь равна 
Посчитаем теперь площадь под графиком функции и вычтем площадь треугольника.
Ответ: а) 
б) -2,25 и 0 в) см. рис., г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) -2,25 и 0 в) см. рис., г) б) -2,25 и 0 в) см. рис., г)