PDF-версии: 
2. Дана функция: 
а) Решите неравенство: 
б) Решите уравнение: 
в) Найдите промежутки монотонности функции f.
г) Выясните, сколько корней имеет уравнение 
(в зависимости от а).
Решение. а) Последовательно получаем:
Значит, 
Следовательно, 
б) Имеем:
Заметим, что
посторонний корень, так как 
в точке 3 не определен.
в) Функция 
убывает на 
и возрастает на 
принимая значение 0 в точках 
Значит, 
убывает на 
и возрастает на 
принимая там положительные значения. Значит, 
определена на этих промежутках и тоже возрастает при 
и убывает при 
г) В дополнение к предыдущему пункту заметим, что:
поэтому функция принимает все значения от 
до 2 сначала на промежутке 
а потом еще раз на промежутке 
Поэтому при 
решений нет, при 
решение единственное, при 
решений два.
Ответ: а) 
б) {1}, в) На 
возрастает, на 
убывает, г) Если 
то два корня; если 
то один корень; если 
то корней нет.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) {1}, в) На возрастает, на убывает, г) Если то два корня; если то один корень; если то корней нет. б) {1}, в) На возрастает, на убывает, г) Если то два корня; если то один корень; если то корней нет.