PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Решите уравнение: 
б) Найдите все решения неравенства 
из отрезка 
в) Докажите, что 
г) Найдите множество значений функции f на отрезке 
Решение. а) Уравнение можно записать в виде:
Ясно, что при таких x знаменатель в изначальном уравнении не равен нулю, поэтому все такие x действительно корни.
б) Обозначим временно 
тогда получим неравенство 
решениями которого будут 
и 
Заметим, что на промежутке 
функция 
убывает и принимает значение 
в точке 
на промежутке 
функция возрастает и принимает значение в точке 
значение 
в точке 
на промежутке 
функция убывает и принимает значение в точке 
Отсюда получаем ответ на неравенство 
в) Имеем:
г) Заметим, что
При 
функция принимает все значения на отрезке 
поэтому 
принимает все значения на 
значит, функция 
принимает все значения на
Наконец, 
принимает все значения на 
Ответ: а) 
б) 
г)
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) г) б) г)