РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2132

3А. Пусть $p левая круглая скобка z правая круглая скобка =z в квадрате плюс az плюс b,$ $z принадлежит \Bbb C.$ В следующих далее формулировках мы для краткости будем отождествлять комплексные числа с их изображениями как точек плоскости.

а)  Пусть $b=1.$ Верно ли, что при всех $a принадлежит \Bbb R,$ $|a|\leqslant2,$ корни многочлена $p левая круглая скобка z правая круглая скобка$ лежат на единичной окружности?

б)  Пусть $b=1,$ $a принадлежит \Bbb C$ и $|a|\leqslant1.$ Найдите наименьшее значение модуля разности корней многочлена $p левая круглая скобка z правая круглая скобка .$

в)  Пусть z_k, k  =  1, 2, 3, 4,  — вершины квадрата с центром u. Докажите, что $\sum_k=1 в степени 4 p левая круглая скобка z_k правая круглая скобка =4p левая круглая скобка u правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Если корни $z_1, 2$ многочлена $p левая круглая скобка z правая круглая скобка$ действительны и лежат на единичной окружности, то $z_1=z_2=\pm1,$ так что $a=\pm2.$ Рассмотрим случай $|a| меньше 2$ и положим $a=2 косинус x.$ Тогда $z_1, 2= косинус x плюс i синус x,$ т. е. $|z_1, 2|=1.$

б)  Имеем:

Среди точек вида $a в квадрате$   — произвольных точек единичного круга  — ближайшей к точке 4 является точка 1.

в)  Предположим, что вершины занумерованы так, что обход квадрата совершается против часовой стрелки. Мы вправе считать, что $u=0.$ Тогда $z_1 плюс z_3=z_2 плюс z_4=0.$ Далее, так как $z_2=iz_1$ и $z_4=iz_3,$ то $z_1 в квадрате плюс z_2 в квадрате =z_3 в квадрате плюс z_4 в квадрате =0.$ Следовательно,

$\sum_k=1 в степени 4 p левая круглая скобка z_k правая круглая скобка =4b=4p левая круглая скобка 0 правая круглая скобка .$

г)  Если предположить противное, то точка u, в которой достигается наибольшее значение $|p левая круглая скобка z правая круглая скобка |$ в круге $|z|\leqslant1,$ не лежит на единичной окружности, в частности, $|p левая круглая скобка u правая круглая скобка | больше m.$ Рассмотрим квадрат, центром которого является точка u, а одна из вершин которого (обозначим ее $z_1$ ) лежит на единичной окружности. В силу выбора точки u верны неравенства $|p левая круглая скобка z_k правая круглая скобка |\leqslant|p левая круглая скобка u правая круглая скобка |.$ С другой стороны, по доказанному в предыдущем пункте, $\sum_k=1 в степени 4 p левая круглая скобка z_k правая круглая скобка =4p левая круглая скобка u правая круглая скобка ,$ так что