PDF-версии: 
Найдите первообразную функции 
график которой проходит через точку 
Решение. Данная функция является многочленом третьей степени. Областью определения этой функции и областью определения ее первообразной будет являться все множество действительных чисел. Для функции вида x^n одна из первообразных имеет вид 
Все множество первообразных получается путем прибавления константы 
где C — константа. Таким образом, множество всех первообразных исходной функции задастся как
Через каждую точку плоскости проходит график только одной первообразной. Поэтому найдем значение константы, подставив в формулу координаты точки A:
Значит, уравнение первообразной функции 
график которой проходит через точку 
имеет вид 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
определена только для положительных значений аргумента. Так как логарифмическая функция с основанием 
убывает, то наибольшему значению функции соответствует наименьшее значение аргумента. Следовательно, исходное неравенство равносильно системе:
и 
тогда имеем:
является недействительным, т. к. 
для любого x; второе 
где 
и 
Найдем производную указанной функции: 
найдем критические точки функции:
имеем 
так как 
на промежутке 
и 
имеем 
так как 
на промежутке 
имеем 
следовательно, на промежутках 
и 
функция возрастает; на промежутке 
функция убывает. Точки 
и 
являются точками экстремума, так как в них производная данной функции меняет знак. Посчитаем значения функции в точках экстремума: 
функция возрастает на 
точки экстремумов: 
экстремумы функции: 
и 
ограничено 
Так 
при любых значениях x, и мы имеем право перейти к неравенству 
которое в силу указанного выше множества значений равносильно равенству 
Откуда имеем: 
является пустым множителем. Решим второй: 
имеет единственный корень?
где 
тогда получаем:
Исходное показательное уравнение имеет единственный корень, если соответствующее ему квадратное уравнение: а) имеет единственный корень и он положительный, б) имеет два различных корня, только один из которых положительный. 
и поскольку этот корень положительный, оба значения параметра подходят. 
получим:
и 
Так как 
при 
оба корня положительны, что противоречит требованию единственности положительного корня. Аналогично не подходит случай 
Рассмотрим случай, когда 
а 
Решим соответствующую систему:
больше нуля, если 
При всех таких таких значениях параметра сумма корней равна 4 (положительна, что и требуется), а произведение корней равно равно свободному члену 
То если при условии 
либо 
либо 
Объединяя эти случаи, получаем: