Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3970
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  синус в квад­ра­те x минус 4 ко­си­нус x плюс 4 мень­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ спо­соб. Ис­поль­зуя ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство, пе­рей­дем к не­ра­вен­ству, рав­но­силь­но­му ис­ход­но­му:

1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x минус 4 ко­си­нус x плюс 4 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 4 ко­си­нус x минус 5 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

Мно­же­ство зна­че­ний функ­ции y= ко­си­нус x огра­ни­че­но  минус 1 мень­ше или равно ко­си­нус x мень­ше или равно 1. Так  ко­си­нус x плюс 5 боль­ше или равно 0 при любых зна­че­ни­ях x, и мы имеем право пе­рей­ти к не­ра­вен­ству  ко­си­нус x минус 1 боль­ше или равно 0, ко­то­рое в силу ука­зан­но­го выше мно­же­ства зна­че­ний рав­но­силь­но ра­вен­ству  ко­си­нус x минус 1=0. От­ку­да имеем: x=2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

 

Ⅱ спо­соб. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x минус 4 ко­си­нус x плюс 4 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 9 минус ко­си­нус в квад­ра­те x минус 4 ко­си­нус x минус 4 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 9 минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 4 ко­си­нус x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 9 минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно минус 9 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше или равно 9 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но | ко­си­нус x плюс 2| боль­ше или равно 3 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x плюс 2 мень­ше или равно минус 3, ко­си­нус x плюс 2 боль­ше или равно 3 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x мень­ше или равно минус 5, ко­си­нус x боль­ше или равно 1. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что пер­вый ко­рень  ко­си­нус x мень­ше или равно минус 5 яв­ля­ет­ся пу­стым мно­жи­те­лем. Решим вто­рой:

 ко­си­нус x боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но | ко­си­нус x| мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но x=2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка 2 Пи n : n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3976

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 5 из 10