Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3966

Найдите первообразную функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в кубе минус 9x в квадрате плюс 4x минус 5, график которой проходит через точку A левая круглая скобка 2; минус 8 правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

Данная функция является многочленом третьей степени. Областью определения этой функции и областью определения ее первообразной будет являться все множество действительных чисел. Для функции вида x^n одна из первообразных имеет вид  дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: n плюс 1 конец дроби . Все множество первообразных получается путем прибавления константы  дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: n плюс 1 конец дроби плюс C, где C  — константа. Таким образом, множество всех первообразных исходной функции задастся как

F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени 4 минус 3x в кубе плюс 2x в квадрате минус 5x плюс C.

Через каждую точку плоскости проходит график только одной первообразной. Поэтому найдем значение константы, подставив в формулу координаты точки A:

 минус 8=16 минус 24 плюс 8 минус 10 плюс C равносильно C=2.

Значит, уравнение первообразной функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x в кубе минус 9x в квадрате плюс 4x минус 5, график которой проходит через точку A левая круглая скобка 2; минус 8 правая круглая скобка , имеет вид F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени 4 минус 3x в кубе плюс 2x в квадрате минус 5x плюс 2.

 

Ответ: F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени 4 минус 3x в кубе плюс 2x в квадрате минус 5x плюс 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3972

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 2000 год, работа 4, вариант 1
? Классификатор: Нахождение первообразных
?
Сложность: 1 из 10