PDF-версии: 
Сумма трех чисел равна 28, известно, что их логарифмы по основанию 4 образуют арифметическую прогрессию, сумма первых трех членов которой равна 4,5. Найдите разность этой прогрессии.
Решение. Обозначим данные числа 
тогда их логарифмы 
образуют арифметическую прогрессию, если
Так как сумма
Используя полученное равенство 
имеем
По условию задачи 
то есть
Искомая разность арифметической прогрессии может быть найдена как
Имеем:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
Таким образом, 
что равносильно системе 
на 
имеем:
а 
Найдите все возможные значения, которые может принимать 
где 
и 
Тогда 
найдите все точки с отрицательными абсциссами, такие, что площадь фигуры, ограниченная касательной к графику, проведенной через каждую из таких точек, и самим графиком, равнялась 36.
имеет вид 
то есть 
Эта касательная пересекает график функции 
в точке N (см. рисунок), абсцисса x которой положительна и удовлетворяет уравнению 
и 
Таким образом, N
удовлетворяет условию 
Следовательно, искомая точка единственна: 
имеет единственный корень?
то 
— это следует из теоремы Виета, — и при этом
и 
то есть не удовлетворяет система; при 
и 
значит, второе значение тоже не удовлетворяет системе.
уравнение (1) нарушается третье соотношение системе, то есть 
Подставим 
уже рассмотрено выше. При 
По теореме Виета для уравнения (1) 
откуда 
и этот корень тоже не удовлетворяет системе: 
Таким образом, при 
корней нет. Пусть теперь никакой из корней уравнения (1) не равен 
(то есть для каждого корня выполняется третье соотношение системы: 
). Рассмотрим квадратный трехчлен 
и найдем, при каких p число p лежит между корнями, то есть 
только для одного корня выполняется второе соотношение системы: 
Для этого необходимо и достаточно, чтобы 
то есть 
то есть один из корней равен p — это будет, если 
или 
При p=0 уравнение (1) принимает вид 
и 
— удовлетворяет системе.
получаем ответ.
тогда 
и исходное уравнение принимает вид 
то есть 
не имеет положительных корней; при 
уравнение 
имеет ровно один положительный корень 
Таким образом, 
не удовлетворяет системе; при 
не удовлетворяет системе. Таким образом, единственный положительный корень уравнение (3) имеет только при 