РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2638

Сумма трех чисел равна 28, известно, что их логарифмы по основанию 4 образуют арифметическую прогрессию, сумма первых трех членов которой равна 4,5. Найдите разность этой прогрессии.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим данные числа $x_1,x_2,x_3,$ тогда их логарифмы $логарифм по основанию 4 x_1, логарифм по основанию 4 x_2, логарифм по основанию 4 x_3$ образуют арифметическую прогрессию, если

$2 логарифм по основанию 4 x_2= логарифм по основанию 4 x_1 плюс логарифм по основанию 4 x_3 равносильно x_2 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =x_1 умножить на x_3.$

Так как сумма

$логарифм по основанию 4 x_1 плюс логарифм по основанию 4 x_2 плюс логарифм по основанию 4 x_3=4,5,$

то

$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x_1 умножить на x_2 умножить на x_3 правая круглая скобка =4,5 равносильно x_1 умножить на x_2 умножить на x_3=4 в степени левая круглая скобка 4,5 правая круглая скобка =2 в степени 9 .$

Используя полученное равенство $x_1 умножить на x_2=x_2 в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ имеем

$x_2 в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =2 в степени 9 равносильно x_2=8.$

По условию задачи $x_1 плюс x_2 плюс x_3=28,$ то есть

$система выражений x_1 плюс x_3=20,x_1 умножить на x_3 =64 конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x_1=16,x_3=4, конец системы . , система выражений x_1=4,x_3=16. конец системы . конец совокупности .$

Искомая разность арифметической прогрессии может быть найдена как

$логарифм по основанию 4 x_2 минус логарифм по основанию 4 x_1= логарифм по основанию 4 дробь: числитель: x_2, знаменатель: x_1 конец дроби = логарифм по основанию 4 дробь: числитель: 8, знаменатель: x_1 конец дроби .$

Имеем:

$x_1=16:$ $d= логарифм по основанию целая часть: 4, дробная часть: числитель: 8, знаменатель: 16 = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

$x_1=4:$ $d= логарифм по основанию целая часть: 4, дробная часть: числитель: 8, знаменатель: 4 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $d= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $d= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2632

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 4, вариант 2

? Классификатор: Прогрессии

Сложность: 5 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь