PDF-версии: 
Найдите все комплексные z, удовлетворяющие условию 
Решение. Пусть 
Тогда 
и
Это уравнение равносильно системе 
(Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда одновременно обращаются в нуль его действительная и мнимая части.)
Ответ: −1, 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Решите неравенство 
Поскольку основание показательной функции больше единицы, последнее неравенство равносильно следующему: 
и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.
и затем симметрично отразить ее относительно двух осей.
тогда 
и 
а 
Следовательно, 
то 
Отсюда следует ответ задачи. (Здесь мы воспользовались не только монотонностью логарифмической функции, но и следующим свойством логарифмов: если 
и 
то 
смотри также рисунок).
и 
будем возводить во всё большие степени числа, стоящие под знаком логарифма. Это позволит последовательно уточнять оценки. Вначале возведем в квадрат:
то
то 
Таким образом, все различные решения совокупности (5), (6), — это числа 
(7), а также решения уравнения (5):
сводится к следующему. Запишем второй множитель иначе:
т. е. множества решений (9) и (11) не пересекаются. Для решений уравнения (10) 
т. е. корни уравнения (10) содержатся среди корней уравнения (11). Таким образом, совокупность (9) − (11) равносильна совокупности двух уравнений (9), (11), причем множества их решений не пересекаются.
с концами на графиках функций 
и 
положителен при любых значениях параметра a. Корни:
Вычислим 
это означает, что число 
находится между корнями этого квадратного трехчлена. Таким образом, 
и решением системы (1), (2) является 
(Одновременно мы показали, что множеством значений функции 
является ℝ.)
посторонний, следующим образом: 
а 
забывая при этом, что неравенство 
для отрицательных a неверно, т. е. верный вывод делался на основании неверных рассуждений (что является серьезной ошибкой).
на ℝ. Для этого возьмем производную:
определена при всех a и равна нулю при 
т. е. 
т. е. при a = 1. Определим знаки производной: при 
при 
Таким образом, на (−∞; 1] функция l(a) убывает, а ее наименьшее значение равно l(1); на [1; +∞) функция возрастает, ее наименьшее значение есть l(1).
Это и есть длина наименьшего отрезка прямой y = a с концами на графиках данных функций.
в точке 
а график другой заданной функции — в точке 
Так как ординаты этих точек равны, то 
т. е. 
и кроме того, длина отрезка M1M2 равна
положительна при любом 
так как 
) 
(мы заменили x2 на t из соображений удобства записи). Эта функция определена, непрерывна и дифференцируема на ℝ. Ее производная 
обращается в нуль в случае 
(Обоснования могут быть аналогичными приведенным в I способе решения.)
параллельной прямой 
Найдем абсциссы точек касания, т. е. такие x0, что 
поскольку правая часть в (3) никогда не обращается в нуль; но это несущественно, можем написать и стандартное неравенство 
). 
и ординатой 
или 
Введем вспомогательную функцию 
обращается в нуль в единственной точке 
— наименьшее значение функции 𝜑(x):
и график функции 
лежит выше графика функции 
за исключением единственной точки касания 
лежит ниже графика касательной 
Длина этого отрезка 