РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 5126

Определить все целые значения n, при которых уравнение $дробь: числитель: x минус 8, знаменатель: n минус 10 конец дроби = дробь: числитель: n, знаменатель: x конец дроби$ не имеет действительных корней.

Спрятать решение

Решение.

Сразу отметим, что $x не равно 0$ и $n не равно 10$ (при таком n уравнение не определено ни при одном x и корней нет). При этих условиях преобразуем уравнение

$n левая круглая скобка n минус 10 правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка равносильно n в квадрате минус 10n=x в квадрате минус 8x равносильно x в квадрате минус 8x минус n в квадрате плюс 10n=0.$

Это квадратное уравнение. Для того, чтобы оно не имело корней, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был отрицателен. Вычислим его:

$D=8 в квадрате минус 4 левая круглая скобка минус n в квадрате плюс 10n правая круглая скобка =4 левая круглая скобка 16 плюс n в квадрате минус 10n правая круглая скобка =4 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 8 правая круглая скобка ,$

что отрицательно при $n принадлежит левая круглая скобка 2;8 правая круглая скобка .$ Выясним, при каких n уравнение имеет корень $x=0.$ Подставляя в него $x=0,$ находим

$минус n в квадрате плюс 10n=0 равносильно минус n левая круглая скобка n минус 10 правая круглая скобка =0,$

откуда $n=10$ или $n=0.$ Первый случай уже исключен. Во втором уравнение принимает вид $x в квадрате минус 8x=0,$ т. е. $x левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =0,$ и имеет еще и корень $x=8.$ Осталось перечислить все целые числа с полученного промежутка.

Ответ: $n принадлежит левая фигурная скобка 3, 4, 5, 6, 7, 10 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 5122

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1967 год, работа 4, вариант 2

? Классификатор: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь