Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 5060
i

Для уче­ни­ков при­го­то­ви­ли a тет­ра­дей с рас­че­том рас­пре­де­лить тет­ра­ди по­ров­ну между уче­ни­ка­ми. Но так как уче­ни­ков ока­за­лось на два че­ло­ве­ка мень­ше, не­же­ли пред­по­ла­га­лось, то на каж­до­го уча­ще­го­ся при­ш­лось одной тет­рад­кой боль­ше. Сколь­ко было уче­ни­ков? Ис­сле­до­вать, при каких зна­че­ни­ях a корни удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим пред­по­ла­гав­ше­е­ся число уче­ни­ков за x, тогда каж­дый дол­жен был по­лу­чить по дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x конец дроби тет­ра­дей, а в итоге по­лу­чил по дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби тет­ра­ди. По усло­вию дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс 1. Пре­об­ра­зу­ем это урав­не­ние:

дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс 1 рав­но­силь­но ax=a левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ax=ax минус 2a плюс x в квад­ра­те минус 2x рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x минус 2a=0 рав­но­силь­но x=1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2a конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку x боль­ше 2, го­дит­ся толь­ко боль­ший ко­рень.

Итак, уче­ни­ков было 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2a плюс 1 конец ар­гу­мен­та . Это число долж­но быть целым, то есть 2a плюс 1=t в квад­ра­те при не­ко­то­ром целом (и оче­вид­но не­чет­ном) t. Пусть t=2n плюс 1, тогда

2a плюс 1= левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 2a=4n в квад­ра­те плюс 2n рав­но­силь­но a=2n в квад­ра­те плюс 2n и x=2n плюс 2.

Итак, могло быть 2n в квад­ра­те плюс 2n тет­ра­дей. Их со­би­ра­лись раз­дать 2n плюс 2 уче­ни­кам по n штук, а раз­да­ли 2n уче­ни­кам по n плюс 1 штуке.

 

Ответ: a=2n в квад­ра­те плюс 2n, при n при­над­ле­жит N .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, УССР (Одес­са), 1937 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: За­да­чи с па­ра­мет­ром, Ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025