Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4796

Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремум функцию: f(x)=x в квадрате умножить на e в степени (2x) .

Спрятать решение

Решение.

Найдем производную функции:

f'(x)=2xe в степени (2x) плюс x в квадрате умножить на e в степени (2x) умножить на 2=e в степени (2x) (2x плюс 2x в квадрате )=2x(x плюс 1)e в степени (2x) .

Исследуя знак этого выражения методом интервалов (последний множитель всюду положителен и его можно не учитывать), получим f' меньше 0 при x принадлежит ( минус 1; 0) и f' больше 0 при x принадлежит ( минус принадлежит fty; минус 1)\cup(0; плюс принадлежит fty). Поэтому функция убывает на промежутке ( минус 1; 0), возрастает на промежутках ( минус принадлежит fty; минус 1) и (0; плюс принадлежит fty). Значит, x= минус 1 — точка максимума, x=0 — точка минимума, f( минус 1)=e в степени ( минус 2) , f(0)=0. Минимум здесь глобальный, поскольку f(x) больше 0 при x не равно 0, максимум локальный, поскольку например f(1)=e в квадрате больше f( минус 1).

 

Ответ: функция монотонно убывает на (−1; 0), возрастает на (−∞; −1) и (0; ∞), её экстремумы — точки −1 и 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4790

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1977 год, работа 3 (осень), вариант 2
? Классификатор: Исследование функций
?
Сложность: 5 из 10