Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4794

Пусть x — длина высоты конуса, у которого образующая равна 3 корень из 3 дм. Какова должна быть длина x, чтобы объем конуса был максимальный?

Спрятать решение

Решение.

Пусть радиус конуса равен r, тогда r в квадрате плюс x в квадрате =(3 корень из (3) ) в квадрате =27, откуда r в квадрате =27 минус x в квадрате . Тогда

V(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи x(27 минус x в квадрате )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи (27x минус x в кубе ).

Возьмем ее производную:

V'= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи (27 минус 3x в квадрате )= Пи (9 минус x в квадрате )= Пи (3 минус x)(3 плюс x).

Исследуя знак этого выражения методом интервалов, получим V' меньше 0 при x принадлежит (3; плюс принадлежит fty) и V' больше 0 при x принадлежит (0; 3). Поэтому функция убывает на промежутке (3; плюс принадлежит fty), возрастает на промежутке (0; 3). Значит, x=3 — точка максимума. Поэтому высота должна быть равна 3.

На самом деле имеет смысл рассматривать функцию V(x) только при x принадлежит (0; 3 корень из (3) ).

 

Ответ: 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4788

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1977 год, работа 3 (осень), вариант 2
? Классификатор: Применение производной к решению задач
?
Сложность: 3 из 10