Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4772
i

Пусть x  — длина вы­со­ты пи­ра­ми­ды MABCD, в ос­но­ва­нии ко­то­рой квад­рат, пря­мые MB и ABC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, MD=2 ко­рень из 3 дм. Вы­ра­зив объём V(x) пи­ра­ми­ды как функ­цию от x, най­ди­те угол между MDC и BCD в пи­ра­ми­де, име­ю­щем V_\max.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По усло­вию MB=x, MD=2 ко­рень из 3 и тре­уголь­ник MBD пря­мо­уголь­ный, по­это­му BD в квад­ра­те =MD в квад­ра­те минус MB в квад­ра­те =12 минус x в квад­ра­те . Из квад­ра­та ABCD по­лу­ча­ем, что

2AB в квад­ра­те =BD в квад­ра­те рав­но­силь­но AB в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 12 минус x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

тогда

V_MABCD левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12 минус x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 12 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

От­сю­да

V' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 12 минус x в квад­ра­те плюс x левая круг­лая скоб­ка минус 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 минус 3x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

где V' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 при x боль­ше 2 и V' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 при x мень­ше 2, сле­до­ва­тель­но, V_\max=V левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Плос­ко­сти MDC и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой CD, при­чем \angle BCD=\angle MCD=90 гра­ду­сов, сле­до­ва­тель­но, угол MCB ис­ко­мый. Так как x=2, то

BC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 12 минус x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та =2.

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник MBC рав­но­бед­рен­ный и угол MCB равен 45 гра­ду­сов .

 

Ответ: 45 гра­ду­сов.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4766

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1977 год, ра­бо­та 1 (осн.), ва­ри­ант 2
? Классификатор: Гео­мет­рия, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 5 из 10