№ 4749 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 17. Экстремумы, монотонность, исследование функций
i
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Решение. Запишем функцию в виде
Это многочлен четвертой степени, поэтому функция непрерывна, а график не имеет асимптот. Точки пересечения с осями координат, очевидно, 
и 
то есть график проходит через начало координат и точки 
Функция, очевидно, является четной.
Возьмем ее производную
Исследуя знак этого выражения методом интервалов, получим 
при 
и 
при 
Поэтому функция убывает на промежутках 
и 
возрастает на промежутках 
и 
Значит, 
— точка минимума, а 
— точки максимума. При этом 
и
График представлен на рисунке.
Ответ: см. рис.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: см. рис.
Задание парного варианта: 4744
