РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 4733

Решите систему уравнений $система выражений логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию 5 y=1 плюс 2 логарифм по основанию 5 3,5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 625. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Сразу отметим, что $x больше 0,$ $y больше 0$ и $y минус x больше 0.$ При этих условиях можно преобразовать уравнения:

$логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию 5 y=1 плюс 2 логарифм по основанию 5 3 равносильно логарифм по основанию 5 xy= логарифм по основанию 5 5 плюс логарифм по основанию 5 9 равносильно логарифм по основанию 5 xy= логарифм по основанию 5 45 равносильно xy=45,$ $логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию 5 y=1 плюс 2 логарифм по основанию 5 3 равносильно логарифм по основанию 5 xy= логарифм по основанию 5 5 плюс логарифм по основанию 5 9 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 xy= логарифм по основанию 5 45 равносильно xy=45,$ $логарифм по основанию 5 x плюс логарифм по основанию 5 y=1 плюс 2 логарифм по основанию 5 3 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 xy= логарифм по основанию 5 5 плюс логарифм по основанию 5 9 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 xy= логарифм по основанию 5 45 равносильно xy=45,$

$5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 625 равносильно y минус x=4 равносильно y=x плюс 4.$

Подставляя $y=x плюс 4$ в первое уравнение, получим

$x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =45 равносильно x в квадрате плюс 4x минус 45=0,$

откуда $x=5$ или $x= минус 9$   — посторонний корень. Итак, $x=5$ и $y=5 плюс 4=9.$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 5; 9 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 4738

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1989 год, работа 3, вариант 1

? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы

Сложность: 4 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь